¿Cuáles son los grados de libertad de la distribución chisquared para comparar valores dentro de una función de verosimilitud?

Question

Digamos que tengo una función de probabilidad para un vector X.

Me sale esto como dnorm(X, mean(X), sd(X)

Obviamente la MLE será la media aquí.

Pero digamos que quiero comparar algún otro valor, como 4, con la MLE. Lo hago dnorm(4, mean(X), sd(X)

Entonces -2*log(prod(dnorm(X, mean(X), sd(X))/prod(dnorm(4, mean(X), sd(X))) para obtener el logaritmo de la razón de verosimilitud.

Dado que los grados de libertad de la prueba chi-cuadrado para el estadístico de razón de verosimilitud es #parámetros-#parámetros ( cero) o 1 o lo mismo que la distribución t 1-n (149 para el vector con el que estoy jugando en R, iris$Sepal.Width).

Pero no puedo obtener los valores p adecuados con ninguna de las funciones chisq en R con ninguno de estos grados de libertad.

Básicamente, estoy tratando de recrear la prueba t de una muestra utilizando la prueba de razón de verosimilitud. Sé que la prueba t de una muestra ES la prueba de razón de verosimilitud para una media con varianza desconocida, pero estoy tratando de entender la matemática/lógica de cómo se llega de la LRT con su uso de la distribución de muestreo chi-cuadrado a la prueba t. Sé que la prueba t es esencialmente la prueba de wald, pero la prueba de wald evalúa la distancia en la función de verosimilitud en la escala horizontal, no en la vertical (ver foto). O debe ¿Espero que los valores p sean diferentes?

Answer 1

Sí, creo que hay que esperar valores diferentes. La prueba t de Student y la prueba chi-cuadrado tienen supuestos teóricos diferentes. La prueba t de Student es exacta bajo el supuesto de normalidad. Es una prueba de razón de verosimilitud "verdadera" y la prueba insesgada más potente para la media de la distribución para un determinado $\alpha$ . La prueba de razón de verosimilitud generalizada basada en la prueba de chi-cuadrado se basa en la distribución asintótica de la función log-verosimilitud (busque el teorema de Wilks). No es exacta, ya que nunca se puede tener un tamaño de muestra infinito, y no hace una suposición normal.