Condiciones para los órdenes totales en la lógica temporal

Question

Dejemos que $(T,>)$ ser un marco de la lógica temporal mínima, es decir, un marco tal como se define en la semántica de Kripke donde la relación es una relación de orden parcial $>$ definido en el conjunto $T$ de mundos, llamado instantes .

He leído que la implicación $$FA\land FB\rightarrow F(Fa\land B)\lor F(A\land B)\lor F(A\land FB)$$ es válido si y sólo si $>$ es una orden total hacia el futuro (D. Palladino, C. Palladino, Lógica matemática ). Creo que esto significa que $FA\land FB\rightarrow F(Fa\land B)\lor F(A\land B)\lor F(A\land FB)$ es válido en el instante $t'$ bajo cualquier interpretación si y sólo si $\{t\in T:t>t'\}$ está totalmente ordenado.

Análogamente, $$PA\land PB\rightarrow P(Pa\land B)\lor P(A\land B)\lor P(A\land PB)$$ es válido si y sólo si $>$ es una orden total hacia el pasado .

No tengo ningún problema en demostrarme a mí mismo por qué la validez de las dos fórmulas implica cada uno de los dos tipos de orden total, pero no encuentro una interpretación de la constante proposicional útil para demostrar las implicaciones inversas. ¿Podría alguien explicar cómo demostrarlas, que creo que podría hacerse mediante un "truco" de interpretación adecuado? ¡Muchas gracias a todos!

Answer 1

Para demostrar que la primera fórmula es válida si $(T,>)$ es un orden total hacia el futuro (es decir, no tiene ramificaciones hacia el futuro), supongamos que para una valoración $\sigma$ y un punto $x \in T$ tienes $(T,>),\sigma,x \Vdash FA \land FB$ . Entonces hay $y,z \in T$ con $x<y$ y $x<z$ tal que $(T,>),\sigma,y\Vdash A$ y $(T,>),\sigma,z \Vdash B$ . Pero como $(T,>)$ es una orden total hacia el futuro que tiene ( $z<y$ o $y=z$ o $y<z$ ). En el primer caso $(T,>),\sigma, z \Vdash (FA \land B)$ en el segundo caso $(T,>),\sigma, y \Vdash (A \land B)$ y en el último caso $(T,>),\sigma,y \Vdash (A \land FB)$ . Por lo tanto, en cualquier caso $(T,>),\sigma, x \Vdash F(FA \land B) \lor F(A\land B) \lor F(A\land FB)$ . Por lo tanto, toda la implicación es válida.

Para la otra dirección, si $(T,>)$ no es un orden total hacia el futuro, entonces hay $x,y,z \in T$ con $x<y$ y $x<z$ pero tal que $y$ y $z$ son incomparables, es decir, ninguno de los dos $y<z$ ni $z<y$ ni $y=z$ retener. Ahora construye la valoración $\sigma$ tal que $\sigma(A) = \{y\}$ y $\sigma(B) = \{z\}$ . Entonces $FA \land FB$ tiene en $x$ pero $F(FA \land B) \lor F(A\land B) \lor F(A \land FB)$ no lo hace. Por lo tanto, la implicación $FA \land FB \to F(FA \land B) \lor F(A \land B) \lor F(A \land FB)$ no es válido.