Deje $\mathfrak{Cat}$ ser la 2-categoría de categorías pequeñas, functors, naturales y transformaciones. Considere el siguiente diagrama en $\mathfrak{Cat}$: $$\mathbb{D} \stackrel{F}{\longrightarrow} \mathbb{C} \stackrel{G}{\longleftarrow} \mathbb{E}$$
Hay varios conceptos de retroceso se podría investigar en $\mathfrak{Cat}$:
El ordinario retroceso en el subyacente de 1 categoría $\textbf{Cat}$: estos existen y son únicos, por ordinario resumen tonterías. Explícitamente, $\mathbb{D} \mathbin{\stackrel{1}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E}$ tiene objetos de pares $(d, e)$ tal que $F d = G e$ (mal!) y las flechas son pares $(k, l)$ tal que $F k = G l$. Esta es, evidentemente, un mal concepto: no es estable en equivalencia. Por ejemplo, tome $\mathbb{C} = \mathbb{1}$: a continuación, obtenemos un producto ordinario; pero si $\mathbb{C}$ es el intervalo de la categoría $\mathbb{I}$,$\mathbb{1} \simeq \mathbb{I}$, sin embargo, si elijo $F$$G$, de modo que sus imágenes son distintos, tenemos $\mathbb{D} \mathbin{\stackrel{1}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E} = \emptyset$, e $\emptyset \not\simeq \mathbb{D} \times \mathbb{E}$ en general.
La estricta 2-pullback es una categoría $\mathbb{D} \mathbin{\stackrel{s}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E}$ y dos functors $P : \mathbb{D} \mathbin{\stackrel{s}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E} \to \mathbb{D}$, $Q : \mathbb{D} \mathbin{\stackrel{s}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E} \to \mathbb{E}$ tal que $F P = G Q$, con la siguiente universal de los bienes (si no me equivoco): para todas las $K : \mathbb{T} \to \mathbb{D}$ $L : \mathbb{T} \to \mathbb{E}$ tal que $F K = G L$, no es un functor $H : \mathbb{T} \to \mathbb{D} \mathbin{\stackrel{s}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E}$ tal que $P H = K$$Q H = L$, e $H$ es único a la igualdad; si $K' : \mathbb{T} \to \mathbb{D}$ $L' : \mathbb{T} \to \mathbb{E}$ son otros dos functors tal que $F K' = G L'$ $H' : \mathbb{T} \to \mathbb{D} \mathbin{\stackrel{s}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E}$ satisface $P H' = K'$ $Q H' = L'$ y no son naturales transformaciones $\beta : K \Rightarrow K'$$\gamma : L \Rightarrow L'$, entonces existe una única transformación natural $\alpha : H \Rightarrow H'$ tal que $P \alpha = \beta$$Q \alpha = \gamma$. Por lo $\mathbb{D} \mathbin{\stackrel{s}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E} = \mathbb{D} \mathbin{\stackrel{1}{\times}_\mathbb{C}} \mathbb{E}$ obras, y, en particular, la estricta 2-pullbacks son malos.
-
El pseudo 2-pullback es una categoría $\mathbb{D} \times_\mathbb{C} \mathbb{E}$, tres functors $P : \mathbb{D} \times_\mathbb{C} \mathbb{E} \to \mathbb{D}$, $Q : \mathbb{D} \times_\mathbb{C} \mathbb{E} \to \mathbb{E}$, $R : \mathbb{D} \times_\mathbb{C} \mathbb{E} \to \mathbb{C}$, y dos naturales isomorphisms $\phi : F P \Rightarrow R$, $\psi : G Q \Rightarrow R$, la satisfacción de las siguientes característica universal: para todos los functors $K : \mathbb{T} \to \mathbb{D}$, $L : \mathbb{T} \to \mathbb{E}$, $M : \mathbb{T} \to \mathbb{C}$, y natural isomorphisms $\theta : F K \Rightarrow M$, $\chi : G L \Rightarrow M$, no hay una única functor $H : \mathbb{T} \to \mathbb{D} \times_\mathbb{C} \mathbb{E}$ natural y isomorphisms $\tau : K \Rightarrow P H$, $\sigma : L \Rightarrow Q H$, $\rho : M \Rightarrow R H$ tal que $\phi H \bullet F \tau = \rho \bullet \theta$ $\psi H \bullet G \sigma = \rho \bullet \chi$ (además de algunos axiomas de coherencia no he comprendido); y algunas más universal de los bienes naturales de las transformaciones.
Considerando los casos de $\mathbb{T} = \mathbb{1}$$\mathbb{T} = \mathbb{2}$, parece que $\mathbb{D} \times_\mathbb{C} \mathbb{E}$ puede ser llevado a ser de las siguientes categorías: sus objetos son quintuples $(c, d, e, f, g)$ donde $f : F d \to c$ $g : G e \to c$ son isomorphisms, y sus morfismos son triples $(k, l, m)$ donde $k : d \to d'$, $l : e \to e'$, $m : c \to c'$ hacer la evidente diagrama en $\mathbb{C}$ viaje. Los functors $P, Q, R$ son evidentes proyecciones, y las naturales transformaciones $\phi$ $\psi$ también están dadas por las proyecciones.
Pregunta. Esto parece satisfacer la necesaria propiedades universales. Es mi construcción correcta?
Pregunta. ¿Cuáles son las propiedades de esta construcción? Es estable bajo las equivalencias, en el sentido de que $\mathbb{D}' \times_{\mathbb{C}'} \mathbb{E}' \simeq \mathbb{D} \times_\mathbb{C} \mathbb{E}$ cuando hay una equivalencia entre el$\mathbb{D}' \stackrel{F'}{\longrightarrow} \mathbb{C}' \stackrel{G'}{\longleftarrow} \mathbb{E}'$$\mathbb{D} \stackrel{F}{\longrightarrow} \mathbb{C} \stackrel{G}{\longleftarrow} \mathbb{E}$?
-
Por último, existe el no-estricta 2-pullback, que según tengo entendido tiene la misma característica universal como el pseudo 2-pullback pero con "único functor" se sustituye por "functor único hasta el isomorfismo".
Pregunta. Es esto correcto?
Pregunta General. Donde puedo encontrar una buena explicación de estricta 2-límites / pseudo 2-límites / bilimits y sus relaciones, con el consentimiento explícito construcciones de hormigón 2-categorías tales como $\mathfrak{Cat}$? Hasta ahora sólo he encontrado definiciones sin ejemplos. (Hay un libro de texto, pero aún así...?)
