Si la gráfica de la función $f(x)=x^2+2(k-1)x+k+5, k\in R$ cortar el eje x al menos en un punto del lado positivo , encontrar el conjunto de valores posibles de la constante k.
Mi intento es el siguiente:
Como se dice que la gráfica corta el eje x, significa $D>0$
$$4(k-1)^2-4*(k+5)>0$$ $$k^2-3k-4>0$$ $$(k-4)(k+1)>0$$ $$k\in (-\infty,-1) \cup (4,\infty)$$
Caso 1: Si una raíz es negativa y la otra positiva.
Significa $f(0)<0$
$$k+5<0$$ $$k<-5$$ $$k\in (-\infty,-5)$$
Caso 2: Si una raíz es mayor que igual a cero y la otra raíz es positiva.
Así que $f(0)>=0$ y $0<\frac{a+b}{2}$ donde a y b son raíces.
$$k+5>=0 \quad \cap \quad 0<\frac{-2(k-1)}{2}$$ $$k>=-5 \quad \cap \quad k<1$$ $$k\in [-5,-1)$$ (tomó la intersección con el discriminante también)
Tomando la unión del caso 1 y el caso 2, nos da $k\in (-\infty,-1)$ pero la respuesta es $k\in (-\infty,-1]$
¿Dónde estoy cometiendo el error? Tomé $D>0$ ya que en la pregunta se dice que la gráfica corta el eje x, por lo que significa que definitivamente son dos las raíces de la ecuación.
