Una duda básica sobre un problema de suma directa de dos espacios vectoriales

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre $\Bbb R$ de dimensión $k \lt \infty$ . Sea $\{e_1, e_2,\dots, e_k\}$ sea una base para $V$ . Definir $$ V_{\Bbb C}=V \bigoplus iV=\{u+iv: u,v \in V\}$$

con la suma y la multiplicación sclar . Estoy confundido con la notación $u+iv$ . ¿Qué es esto? $+$ ? Una vez que identifique $V$ y $iV$ como subespacio de algún espacio vectorial, entonces sólo puedo añadirlos. Además, ¿qué se entiende por $iv$ ? Como $V$ es un espacio vectorial sobre $R$ qué significa $iv$ ? ¿Estoy en lo cierto? Si fuera lo siguiente, no tendría ningún problema:

$$ V_{\Bbb C}=V \bigoplus iV=\{(u,iv): u,v \in V\}$$

Answer 1

Creo que te resultará menos confuso utilizar una notación ligeramente diferente para tu complejización.

En primer lugar, recuerda que puedes construir $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}^2$ junto con la multiplicación $$ (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc). $$ La identidad multiplicativa es entonces $1 = (1,0)$ y tienes $i = (0,1)$ , de modo que si identificas $\mathbb{R}$ con el subcampo $\mathbb{R} \oplus \{0\}$ de $\mathbb{C}$ , lo consigues $$ \forall (a,b) \in \mathbb{C}, \quad (a,b) = (a,0) + (b,0)i = a + bi, $$ como usted espera.

Ahora, supongamos que tenemos un espacio vectorial real $V$ . Entonces construye $V_{\mathbb{C}}$ como $V \oplus V$ junto con la multiplicación escalar compleja $$ (a,b)(v,w) := (av-bw,aw+bv), $$ por analogía exacta con la construcción de $\mathbb{C}$ de $\mathbb{R}^2$ . Por lo tanto, en particular, $$ i(v,w) = (-w,v), $$ de manera que si se identifica $V$ con el subespacio real $V \oplus \{0\}$ de $V_{\mathbb{C}}$ entonces $$ \forall (v,w) \in V_{\mathbb{C}}, \quad (v,w) = (v,0) + i(w,0) = v+iw, $$ como querías.

A partir de aquí, el único problema es lo que mencionó Adam Saltz en su comentario: una vez que has construido $V_{\mathbb{C}}$ como en el caso anterior, e identificado $V$ con $V \oplus \{0\} \subset V \oplus V =: V_{\mathbb{C}}$ entonces también se puede escribir $$ V_{\mathbb{C}} = V \oplus iV, $$ donde $V \oplus iV$ ahora denota una suma directa interna de $V \oplus \{0\}$ , identificada con $V$ y $\{0\} \oplus V = i(V \oplus \{0\})$ , identificada con $iV$ , dentro de $V_{\mathbb{C}}$ .