Demostrar que la probabilidad de intersección de la unión es igual a cero

Question

Dejemos que $C_1, C_2, \ldots$ sea una secuencia de eventos en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ tal que $\lim_{n\to\infty} P(C_n) = 0$ y $\sum_{n=1}^{\infty} P(C_{n + 1} \setminus C_{n}) < \infty$ . Demuestre que

$$P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} C_{k}\right) = 0.$$

Estoy atascado en este problema durante mucho tiempo. He visto el siguiente ejemplo, que es similar: Probabilidad de intersección de una secuencia no creciente de eventos

Pero no es suficiente para ayudarme a resolver el problema. Parece que son muchos los detalles que me dan, y no estoy seguro de cómo utilizarlos todos.

Agradecería algún tipo de ayuda ya que estoy atascado en este problema desde hace muchos días.

Answer 1

Tenga en cuenta que por la medida de continuidad de arriba, $$P(\cap_{n=1}^ {\infty}\cup_{k=n}^\infty A_k)=\lim_{n\to\infty}P(\cup_{k=n}^\infty A_k).$$ Además, la aditividad contable permite que \begin {align} P( \cup_ {k=n}^ \infty A_k) &=[P(A_n)+ P(A_{n+1} \cap A_n^c)+P(A_{n+2} \cap A_{n+1}^c \cap A_n^c)+ \dotsb ] \\ & \leq P(A_n)+ \sum_ {k=n}^ \infty P(A_{k+1} \setminus A_{k}) \to 0 \end {align} como $n\to \infty$ donde en la última línea utilizamos las hipótesis del problema. El resultado es el siguiente.