Dejemos que $f:\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}$ sea un homomorfismo suryente. Demostrar o refutar $\mathbb{Z}^2\cong\mathbb{Z}\times \ker(f)$

Question

Siento que estoy pasando por alto algún hecho simple en este caso, por lo que cualquier pista sería apreciada.

He visto este solución, pero me pregunto si hay una manera de hacerlo sin secuencias cortas exactas.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es lo suficientemente simple como para ser demostrado explícitamente.

Elegimos cualquier $v \in \Bbb Z^2$ tal que $f(v) = 1$ y definimos un homomorfismo $h:\Bbb Z \times \ker(f) \rightarrow \Bbb Z^2$ por $h(a, x) = av + x$ .

$h$ es suryente: si $y$ es cualquier vector en $\Bbb Z^2$ entonces $h(f(y), y - f(y)v) = y$ .

$h$ es inyectiva: si $h(a, x) = 0$ entonces tenemos $av + x = 0$ y aplicando $f$ da $a = 0$ , lo que implica entonces $x = 0$ .