La integral definida de $e^{-x^2/2}$ en el intervalo $[-a/2,a/2]$ ¿Hay alguna solución explícita?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Claude Leibovici
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Esta es la integral gaussiana $$\int e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi }{2}} \,\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$$ Así que $$I=\int_{-\frac a2}^{\frac a2} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=\sqrt{2 \pi }\, \text{erf}\left(\frac{a}{2 \sqrt{2}}\right)\tag 1$$ debido a la simetría : $\text{erf}(t)+\text{erf}(-t)=0$ .
Si quieres una aproximación, puedes utilizar $$I \sim \sqrt{2 \pi }\, \sqrt{1-\exp\Big(-\frac {a^2} {2\pi} \Big)}\tag 2$$ o, para una mayor precisión $$I \sim \sqrt{2 \pi }\, \sqrt{1-\exp\Big(-\frac {a^2} {2\pi}\,\frac{8+\alpha\, a^2}{8+\beta \,a^2} \Big)}\tag 3$$ $$\alpha=\frac{10-\pi ^2}{5 (\pi -3) \pi } \qquad \text{and} \qquad \beta=\frac{120-60 \pi +7 \pi ^2}{15 (\pi -3) \pi }$$
Sólo unos números a modo de ilustración. $$\left( \begin{array}{cccc} a & (2) & (3) & (1) \\ 0.25 & 0.24938 & 0.24935 & 0.24935 \\ 0.50 & 0.49507 & 0.49484 & 0.49484 \\ 0.75 & 0.73352 & 0.73279 & 0.73279 \\ 1.00 & 0.96150 & 0.95985 & 0.95985 \\ 1.25 & 1.17617 & 1.17317 & 1.17317 \\ 1.50 & 1.37521 & 1.37048 & 1.37049 \\ 1.75 & 1.55691 & 1.55016 & 1.55016 \\ 2.00 & 1.72014 & 1.71123 & 1.71125 \\ 2.25 & 1.86442 & 1.85339 & 1.85343 \\ 2.50 & 1.98985 & 1.97691 & 1.97698 \\ 2.75 & 2.09703 & 2.08257 & 2.08268 \\ 3.00 & 2.18704 & 2.17155 & 2.17171 \\ 3.25 & 2.26129 & 2.24532 & 2.24553 \\ 3.50 & 2.32141 & 2.30553 & 2.30580 \\ 3.75 & 2.36918 & 2.35390 & 2.35424 \\ 4.00 & 2.40642 & 2.39218 & 2.39258 \end{array} \right)$$
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Bienvenido a Stackexchange. Verás que los simples mensajes de "Aquí está el enunciado de mi pregunta, resuélvelo por mí" serán mal recibidos. Lo mejor es que añadas contexto (con un editar ): Lo que entiendes del problema, lo que has intentado hasta ahora, etc. algo que demuestre que eres parte de la experiencia de aprendizaje y que nos ayude a guiarte hacia la ayuda adecuada. Puede consultar este enlace para obtener más orientación.
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¿Está usted al tanto de la función de error ? Por supuesto, esto no es más que dar un nuevo nombre a la nueva función y no añade ningún conocimiento a menos que se estudie realmente su propiedad. Para conocer los detalles reales de esta función y cómo se relaciona con su pregunta, puede consultar el artículo del enlace.
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No hay una expresión sencilla para este valor, a menos que te permitas usar la función de error--y si es así el único resultado que obtienes es esencialmente una tautología.
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Pero se sabe que la función de error no es una función elemental. Así que su respuesta (como función de $a$ ) no es una función elemental.