Construir un isomorfismo entre dos campos finitos de orden 25.

Question

Los campos en cuestión son \begin {equation*} \mathbb {F}_5[x]/(x^2+x+1),\N- \mathbb {F}_5( \sqrt {2}). \end {equation*} Sé que hay un isomorfismo entre los campos anteriores ya que son campos finitos del mismo orden. Mi idea era encontrar un generador del grupo de unidades de cada campo, y construir un isomorfismo mapeando un generador al otro.

Encontré que $x+2$ genera $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ y $1+\sqrt{2}$ genera $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ Entonces, llamando al mapa $\varphi$ , envío $x+2$ a $1+\sqrt{2}$ lo que da, después de reordenar, $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ donde también utilicé que cualquier isomorfismo deberá fijar el campo base $\mathbb{F}_5$ . El problema es que el mapa \begin {align*} \varphi :& \mathbb {F}_5[x]/(x^2+x+1) \longrightarrow \mathbb {F}_5( \sqrt {2}) \\ &a+bx \mapsto a+4b+b \sqrt {2} \end {align*} no satisface $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ para todos $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ ¿Se debe esto a que el enfoque general es incorrecto?

Answer 1

Observamos que $\omega$ , una raíz tercera primitiva de la unidad, tiene como polinomio mínimo $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$ . Como $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ esto da el siguiente isomorfismo $\varphi:$ \begin {align*} \varphi : \mathbb {F}_5[x]/(x^2+x+1) & \longrightarrow \mathbb {F}_5( \frac {-1+ \sqrt {-3}}{2}) \\ g(x)& \longmapsto g( \frac {-1+ \sqrt {-3}}{2}). \end {align*} Sin embargo, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ y $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$ así que \begin {equation*} \mathbb {F}_5[x]/(x^2+x+1) \cong \mathbb {F}_5( \frac {-1+ \sqrt {-3}}{2}) = \mathbb {F}_5( \sqrt {2}). \end {equation*}