Irracionalidad de $\sqrt 2$ mediante la inducción

Question

Me encontré con este ejercicio en un libro de texto.

Sé que $\frac{n}{b} \ne \sqrt{2} $ % todo $b \gt 0$y $n \le N_0$. ¿Cómo se puede entonces demostrar que $\frac{N_0 + 1}{b} \ne \sqrt{2}$ % todo $b \gt 0$?

Answer 1

Que %#% $ #%

Obviamente $$\frac{N_{0}+1}{b}=\sqrt{2}\rightarrow (N_{0}+1)^{2}=2b^{2}$ o $N_{0}+1>b$.

Podemos ver que $N_{0} \geq b$ es divisible por 2. Let $N_{0}+1$ $N_{0}+1=2t$$

Por lo tanto hemos encontrado un número $$4t^2=2b^2\ \rightarrow\ 2t^{2}=b^{2}\ \rightarrow\ \frac{b}{t}=\sqrt{2}$ tales que la condición dada es cierto que es una contradicción!

Answer 2

Sugerencia $\ $ idea Clave: $\,\color{#0a0}{\rm descent}$ sigue tomando el $\,\rm\color{#c00}{FP\, (fractional\ part)}\,$ de fracciones iguales, por ejemplo, $\,\frac{42}{10} = \frac{63}{15}\,\stackrel{\color{#c00}{\rm FP}}\Rightarrow\, \frac{2}{10 }= \frac{3}{15}\ $ restando a ambos de su parte entera $= 4.\,$ la Aplicación de esta a continuación

$$\sqrt{N}\, = \frac{N}{\sqrt{N}}\, \Rightarrow\, \frac{A}B = \frac{NB}{A}\ \color{#c00}{\stackrel{\rm FP}\Rightarrow}\, \frac{b}B = \frac{a}A\, \Rightarrow\, \frac{A}B = \frac{a}{b}\ \ \ {\rm for}\ \ \ \begin{eqnarray}\color{#0a0}{0<a<A} \\ 0<\,b<B\end{eqnarray}$$

donde $\,a,b\ne 0,\,$ else $\,\sqrt{N} = A/B\,$ cero, con una parte fraccionaria, es decir, es un número entero, contra la hipótesis. Por lo tanto, por el descenso: $ $ dado cualquier fracción $ = \sqrt{N}\,$ hay uno con menor numerador $\,\color{#0a0}{a < A}.\,$ O, contrapositively, por inducción: si no $\ a < A\,$ es un numerador de $\,\sqrt{N}\,$ ni $\,A.$

Comentario $\ $ La clásica prueba de Michael Hardy respuesta es un caso especial ya que, por las fracciones en el intervalo de $\,[1,2),\,$ tomando la parte fraccionaria $(\color{#c00}{\rm FP})$ equivale a $\,\color{#c00}{\rm subtracting\ 1},\,$, por lo que, como en el anterior,

$$\sqrt{2}\, = \frac{2}{\sqrt{2}}\, \Rightarrow\, \frac{A}B = \frac{2B}{A}\ \color{#c00}{\stackrel{\rm FP}\Rightarrow}\, \frac{A\!-\!B}B = \frac{2B\!-\!A}{A}\, \Rightarrow\, \frac{A}B = \frac{2B\!-\!A}{A\!-\!B}$$

La prueba en Shaswata la respuesta es la clásica prueba por la cancelación de $2,\,$ en la fracción de la forma, es decir,

$\quad\displaystyle \sqrt{2}\, = \frac{2}{\sqrt{2}}\,\Rightarrow \frac{\color{#c00}A}B = \frac{2B}{A} = \frac{\color{#c00}B}{\color{#0a0}{A/2}}\,\ $ por $\ \displaystyle\left[\! \begin{eqnarray} 2B^2 = A^2&&\\ \ \Rightarrow\ \color{#0a0}{2\,\mid A}\ &&\end{eqnarray}\!\!\right].\ $ $\,\left[\begin{eqnarray}\\ {\rm So \ \ } \color{#c00}{A>B}\ \ \ {\rm by}&&\\ \sqrt{2}\, = \frac{A}B>1&&\end{eqnarray}\!\!\right]\Rightarrow\,$ el descenso.

La ventaja de la primera es la prueba de que si uno de los intentos de extender la prueba previa a la general de las raíces cuadradas, a continuación, uno necesita más potencia, viz. el primer divisor de la propiedad: primer $\,p\mid ab\,\Rightarrow\, p\mid a\,$ o $\,p\mid b,\,$ o algunos equaivalent, por ejemplo, la singularidad de primer factorizations. Sin embargo, la primera prueba sólo utiliza el algoritmo de la división (que conceptualmente puede ser visto como el empleo de la continuación de la fracción algoritmo para demostrar la unicidad de la reducción de fracciones o, de manera equivalente, Euclides del Lema). La continuación de la fracción algoritmo es una variante del algoritmo de Euclides. Los mismos métodos de trabajo en cualquier dominio que goza de un análogo de la división con resto del algoritmo, es decir, así claeed Euclidiana dominios, por ejemplo, cualquier anillo de $\,F[x]\,$ de los polinomios con coeficientes en un campo.

Answer 3

Supongamos que $(N_0+1)/b=\sqrt{2}$. A continuación un poco de álgebra muestra que $\dfrac{2b-(N_0+1)}{N_0+1-b}=\sqrt{2}$, contradiciendo la hipótesis de inducción.