¿Es la secuencia $\{0,2,6,12,20,30,...,n(n+1)\}$ admisible para todo natural $n$ ?

Question

Mira aquí :

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_k-tuple

para la definición de una secuencia admisible.

Me pregunto si la secuencia de diferencias de primos puede ser $\{0,2,4,6,8,...,2n\}$ por cada nudo natural $n$ . Una versión más débil es que $p+(j-1)j$ es primo para cada $j$ con $1\le j\le n+1$ .

Para $n=7$ el ejemplo más pequeño para la versión más débil es $11$ pero $128981$ es el ejemplo más pequeño para la secuencia $\{0,2,4,6,8,10,12,14\}$ .

Para $\{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18\}$ el ejemplo más pequeño es $2426256797$ .

Las preguntas :

• ¿Es la secuencia $\{0,2,4,6,8,...2n\}$ de diferencias posibles para cada $n$ ?
• Si no, ¿hay al menos un ejemplo para la versión débil para cada $n$ (Equivalente : $\{0,2,6,12,20,30,...n(n+1)\}$ es admisible) ?

Answer 1

La secuencia es admisible para todos los $n$ . Dado $p$ Sólo hay que tener en cuenta $j\in[0,p-1]$ para obtener todos los residuos mod $p$ que están cubiertos por la secuencia. Dado que $(p-j+1)(p-j)\equiv j(j-1)\bmod p$ La mayoría de los residuos están doblemente cubiertos y, por lo tanto, aproximadamente la mitad están descubiertos.

Answer 2

$(0,2,4)$ ya es inadmisible según la definición: contiene todos los residuos mod 3. Así que la respuesta a la primera pregunta es negativa. La segunda secuencia es claramente admisible (contiene como máximo $p-2$ diferentes residuos no nulos mod $p$ ).