Cómo probar $\frac{2^a+3}{2^a-9}$ no es un número natural

Question

¿Cómo puedo demostrar que

$$\frac{2^a+3}{2^a-9}$$

para $a \in \mathbb N$ nunca es un número natural?

Answer 1

Una pista: $$\frac{2^a+3}{2^a-9}=1+\frac{12}{2^a-9}$$

Así que $\frac{12}{2^a-9}$ debe ser también un número natural.

Answer 2

$$1+\frac{12}{2^a-9}$$

lo que significa que $2^a$ debe ser igual a $10,11,12,13,15$ o $21$ pero ninguno de ellos es un poder de $2$ , por lo que nunca es un número natural

Answer 3

La expresión es equivalente a $$1+\frac{12}{2^n-9}$$ por lo que no hay muchos casos que considerar.

Answer 4

Definir los números naturales como el conjunto $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ . Supongamos que $\frac{2^a+3}{2^a-9}$ es un número natural, entonces también lo es $$1+\frac{12}{2^a-9},$$ y $$\frac{2^a+3}{2^a-9}-1=\frac{12}{2^a-9}\in\mathbb{N}\cup\{0\}.$$ Pero $$\frac{12}{2^a-9}\not\in\mathbb{N}\cup\{0\}.$$ Contradicción. Un argumento similar es válido si se asume $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$ .

Answer 5

Alternativamente...

Si $\displaystyle \frac{2^a+3}{2^a-9} = k$ para algún número entero $k$ entonces

$$(k-1)2^a = -12$$ o $$2^a = 12/(1-k).$$ Como $2^a = 2, 4, 8, ...$ los únicos valores posibles para $k$ son $k = -5, -2$ . Pero estos no son números naturales ya que son enteros negativos.