Monoide ordenado con sustracción parcial: ¿Hay un nombre para esto?

Question

He encontrado la siguiente estructura como útil para representar varios tipos de recursos (por ejemplo, cosas fungibles como el dinero, cosas no fungibles como las escrituras, etc.), y tenía curiosidad por saber si ya hay un nombre para esta estructura/espero que haya alguna parte de un libro o documento que hable de estos objetos.

Def: A recurso $\mathcal{R}$ es una tupla $(R, +, 0, \leq, -)$ donde

1. $(R, +, 0, \leq)$ es un monoide ordenado .
2. $- : R \times R \to R$ es una función parcial de modo que para cualquier $x,y \in R$ tal que $y \leq x$ tenemos $(x - y) + y = x$ .

Por ejemplo:

1. Los números naturales con las operaciones estándar es un recurso $(\mathbb{N}, +, 0, \leq, -)$ .
2. Para cualquier conjunto $A$ podemos construir el recurso $(\mathcal{P}(A), \cup, \emptyset, \subseteq, \setminus)$ , donde $X \setminus Y$ es la operación de diferencia de conjuntos.
3. El conjunto de cadenas de un alfabeto $\Sigma$ puede convertirse en un "recurso prefijado" $(\Sigma^*, \epsilon, \cdot, \leq_p, -_p)$ o un "recurso sufijo" $(\Sigma^*, \epsilon, \cdot, \leq_s, -_s)$ , donde $\cdot$ es la concatenación, $x \leq_p y$ si $x$ es un prefijo de $y$ y de manera similar $x \leq_s y$ si $x$ es un sufijo de $y$ . Las funciones $-_p$ y $-_s$ se definen así $(x \cdot y) -_p x = y$ y $(x \cdot y) -_s y = x$ . \end {enumerar}

Answer 1

Tu notación aditiva puede sugerir que estás considerando monoides conmutativos, pero tu ejemplo 3 no es conmutativo. Por lo tanto, no asumiré la conmutatividad, sino que cambiaré a una notación multiplicativa.

Dejemos que $M$ sea un monoide ordenado. Su condición 2 se puede reformular como sigue:

(2') si $y \leqslant x$ entonces $x \leqslant_{\cal L} y$ ,

donde el $\leqslant_{\cal L}$ El preorden se define de la siguiente manera: $x \leqslant_{\cal L} y$ si y sólo si existe $z \in M$ tal que $zy = x$ . Da lugar a la La relación de Green $\cal L$ .

No creo que haya un nombre específico para esta propiedad. Sin embargo, podría interesarle una propiedad relacionada. La máxima $z$ tal que $zy \leqslant x$ si existe, se llama residuo izquierdo de $x$ por $y$ . Un monoide es residuo de la izquierda si el residuo de la izquierda existe para cualquier par $x,y$ tal que $y \leqslant x$ .