Lo he resuelto pero necesito una revisión para este problema. Esta es la pregunta: Encontrar una ecuación de la tangente a la curva $y=\frac{1}{3}x^2+2$ que es perpendicular a la línea $x-y=0$ . La declaración en portugués es la misma en inglés. la respuesta del libro es $4x+4y-11=0$ . ¿Qué hay de malo en mi solución? Puede ver la pregunta en este enlace. http://pt.scribd.com/doc/94701954/Questao-23-Leithold
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Has llegado a $y=-x+\frac{11}{4}$ . Es decir equivalente a la respuesta $4x+4y-11=0$ que se da en el libro. Sólo hay que multiplicar por $4$ y llevar todo al lado izquierdo.
Tuve un poco de dificultad con tu pregunta. El principal problema es que has escrito la pregunta incorrectamente . En este momento, su pregunta dice, en parte,
"Encontrar una ecuación de la tangente a la curva $y=\frac{1}{3}x^2+2$ que es perpendicular a la línea $x-y=0$ ."
Sin embargo, en su solución (en la traducción) la pregunta dice
"Encontrar una ecuación de la tangente a la curva $y=-\frac{1}{3}x^2+2$ que es perpendicular a la línea $x-y=0$ ."
Y efectivamente la respuesta corresponde a la elección $y=-\frac{1}{3}x^2+2$ .
Lo que deberías haber hecho: Obsérvese que la pendiente de la línea $x-y=0$ es $1$ . Por lo tanto, la pendiente de cualquier línea perpendicular a $x-y=0$ es $-\frac{1}{1}$ que es $-1$ . (Si una línea tiene $\ell$ tiene pendiente $m\ne 0$ entonces la pendiente de cualquier línea perpendicular a $\ell$ es $-\frac{1}{m}$ .)
Ahora calculamos la pendiente de la recta tangente a $y=-\frac{1}{3}x^2+2$ en el punto general con coordenada $x$ . Tenemos $\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{3}x$ .
Por lo tanto, queremos $-\frac{2}{3}x=-1$ , dando $x=\frac{3}{2}$ .
Si $x=\frac{3}{2}$ , entonces el correspondiente $y$ es $\frac{5}{4}$ . Por lo tanto, nuestra línea tangente tiene la ecuación $$y-\frac{5}{4}=(-1)\left(x-\frac{3}{2}\right).$$ Esto simplifica a su $y=-x+\frac{11}{4}$ y también a la respuesta en el libro.
Observación: Hay una serie de errores en la solución manuscrita a la que enlazas. ¡Estos ocurren para cancelar! Por ejemplo, se acaba poniendo $-\frac{2}{3}x$ igual a $1$ (no $-1$ ). Por lo tanto, se termina con el valor incorrecto de $x$ . Más tarde, un pequeño deslizamiento de la señal anula el error. Le insto a mirar en detalle la solución dada anteriormente.
