Creo que son similares (o iguales), pero no estoy seguro.
¿Puede alguien explicar la diferencia entre isomorfismo y homeomorfismo ?
Homomorfismo - un término algebraico para una función que preserva algunas operaciones algebraicas. Para un homomorfismo de grupo $\phi$ tenemos $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$ y $\phi(1)=1$ para un homomorfismo de anillo tenemos además $\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$ y para un homomorfismo del espacio vectorial también $\phi(r\cdot a)=r\cdot\phi(a)$ , donde $r$ es un escalar y $a$ es un vector.
Isomorfismo (en sentido estricto/algebraico) - un homomorfismo que es 1-1 y onto. En otras palabras: un homomorfismo que tiene un inverso.
Sin embargo, homEomorfismo es un término topológico - es una función continua, que tiene una inversa continua.
En la teoría de las categorías se define una noción de morfismo (específico para cada categoría) y luego un isomorfismo se define como un morfismo que tiene un inverso, que también es un morfismo.
Con este enfoque, los morfismos en la categoría de grupos son homomorfismos de grupo y los isomorfismos en esta categoría son sólo isomorfismos de grupo. Lo mismo ocurre con los anillos, los espacios vectoriales, etc.
En la categoría de espacios topológicos, los morfismos son funciones continuas, y los isomorfismos son homeomorfismos.
Observación extra: Una diferencia fundamental entre el álgebra y la topología es que en el álgebra cualquier morfismo (homomorfismo) que sea 1-1 y onto es un isomorfismo, es decir, su inverso es un morfismo. En topología no es así: hay funciones continuas y biyectivas cuyos inversos no son continuos. Esa es (una de las razones) por las que nos gustan los espacios topológicos compactos de Hausdorff: para ellos las inversas son siempre continuas, igual que en el álgebra las inversas de los homomorfismos son homomorfismos.
¿Qué es un homomorfismo topológico? Si es una función continua, entonces tienes razón sobre la distinción entre morfismos algebraicos y topológicos. Si es un mapa continuo (relativamente) abierto, entonces un homomorfismo biyectivo sigue siendo un isomorfismo.
@CameronBuie ¿Te refieres a un "morfismo topológico"? Para mí, la categoría topológica siempre fue la categoría de los espacios topológicos como objetos y los mapas continuos como morfismos. Del mismo modo, un morfismo de grupos topológicos es un homomorfismo de grupo continuo. ¿Por qué alguien exigiría apertura/cercanía?
Como pregunta al margen: los isomorfismos son "preservadores de la estructura" y, por definición, son homomorfismos biyectos. Entonces, ¿cómo debo pensar en un homomorfismo? ¿Es también "preservador de la estructura" pero de una manera menos "preservadora"? ¿Qué significa que dos cosas sean homomorfas (está claro que cuando dos cosas son isomorfas, son esencialmente el mismo objeto con diferentes etiquetas)?
El isomorfismo es una noción algebraica, y el homeomorfismo es una noción topológica, por lo que no deben confundirse. La noción de homeomorfismo está en relación con la noción de función continua (es decir, un homeomorfismo es una biyección entre espacios topológicos que es continua y cuya función inversa también es continua).
Por otro lado, un isomorfismo es una aplicación que preserva la estructura algebraica, por lo que no es una noción topológica. Está relacionado con la noción de estructura, es decir, con la noción de operaciones sobre un conjunto.
Nótese que un isomorfismo puede ser un isomorfismo de grupo, un isomorfismo de anillo o un isomorfismo de espacios vectoriales, por lo que no es una noción unívoca.
Sucede que a veces un isomorfismo puede ser también un homeomorfismo cuando se considera la topología de los espacios: por ejemplo, una aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita que es biyectiva es un isomorfismo, y también un homeomorfismo ya que es continua y su inversa es también lineal por tanto continua.
Pero este no es el caso general, por ejemplo $]-1,1[$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$ por $f(x)=tan(\frac{\pi x}{2})$ pero no es un isomorfismo desde el punto de vista algebraico.
En conclusión, no hay una inclusión estricta de uno en el otro, y son nociones diferentes.
El isomorfismo es una noción teórica de categoría. Puede aplicarse tanto a ategorías algebraicas como topológicas.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
4 votos
La palabra isomorfismo está relacionado con la categoría en la que trabaja. Por ejemplo, si trabaja en la categoría $\mathbf{Top}$ de los espacios topológicos, las palabras isomorfismo y homeomorfismo son sinónimos. Pero si se trabaja en la categoría de variedades lisas, isomorfismo y homeomorfismo no son lo mismo (en realidad todos los isomorfismos en dicha categoría son homeomorfismos, pero lo contrario no es cierto).