Definición: Dejemos que $X$ sea un espacio métrico compacto y sea $\mu$ sea una medida de probabilidad de Borel sobre $X$ entonces decimos que la secuencia $(x_n)$ de elementos de $X$ está equidistribuido con respecto a $\mu$ si tenemos que para cualquier $f \in C(X)$ $$\frac1n \sum_{m = 1}^n f(x_m) \to \int_X f(x) \, d\mu(x).$$
Ahora, quiero encontrar una medida invariante no ergódica tal que $\{2^n x\} = 2^n x \text{ mod } 1$ está equidistribuido con respecto a esta medida para algunos $x$ (entonces $x$ se dice que es un punto genérico). Quiero encontrar este $x$ .
Entonces, sé que las medidas ergódicas son puntos extremos del espacio de las medidas invariantes así que si tomo dos ergódicas (que no deben ser tan difíciles de encontrar) y tomo una combinación convexa tendría un ejemplo. Bien. Puedo observar que $\frac13$ y $\frac15$ son periódicos con periodo 2 y 4 respectivamente. Entonces tomo las medidas ergódicas
$$\mu_1 = \frac12(\delta_\frac13 + \delta_\frac23)$$
y
$$\mu_2 = \frac14(\delta_\frac15 + \delta_\frac25 + \delta_\frac45 + \delta_\frac35).$$
Así que ahora una combinación convexa de $\mu_1$ y $\mu_2$ debería darme un ejemplo de una medida no ergódica (las medidas ergódicas son densas en el espacio de las medidas invariantes).
Sé que $x = \frac13$ y $x = \frac15$ son puntos genéricos para $\mu_1$ y $\mu_2$ respectivamente. Pero, ¿cómo puedo encontrar un punto genérico para una combinación convexa de $\mu_1$ y $\mu_2$ ?
¿Estoy en el camino correcto? Por favor, sólo una pista, esto es una tarea.
