¿Cuál es la afirmación más fuerte posible de la idea de que "la línea tangente es la mejor aproximación lineal"?

Question

Por ejemplo, acabo de comprobar que si se toma la mejor aproximación lineal (en el $L^2$ sentido) a una función suficientemente agradable $f$ en el intervalo $[-\varepsilon, \varepsilon]$ y, a continuación, deja que $\varepsilon \to 0$ , se obtiene $f(0) + x f'(0)$ .

Seguramente podríamos hacer esto más fuerte - me imagino que las afirmaciones análogas deberían valer para, digamos, el $L^1$ también, o para la mayoría de las normas razonables. ¿Pero podemos ir más lejos?

Pregunta: ¿Cuál es la definición precisa más fuerte que podemos dar a la palabra "mejor" para que tengamos un enunciado de la forma "la recta tangente es la mejor aproximación lineal a una función diferenciable"? (Siéntase libre de sustituir "diferenciable" por, digamos, $C^2$ o algo así si hace que la respuesta sea más interesante).

(Nota: Soy consciente de que aquí hay preguntas que suenan parecido, como por ejemplo ¿En qué sentido la derivada es la "mejor" aproximación lineal? pero las respuestas allí no responden a mi pregunta).

Answer 1

Si $f$ es diferenciable en $0$ la misma afirmación es válida con una aproximación uniforme en lugar de $L_2$ .

Prueba: Dejemos que $T(x) = f(0) + xf'(0)$ . Por la definición de diferenciabilidad tenemos $$ f(x) - T(x) = \mathcal o(|x|) $$ y por lo tanto $$ \sup_{|x|\le\varepsilon} |f(x) - T(x)| = \mathcal o(\varepsilon).$$ Así que esto también se satisfaría con la mejor aproximación en el intervalo $[-\varepsilon, \varepsilon]$ diga $g_\varepsilon$ . En particular, para cualquier mapeo $\varepsilon\mapsto x_\varepsilon \in [-\varepsilon, \varepsilon]$ tenemos $$ |f(x_\varepsilon) - g_\varepsilon(x_\varepsilon)| \le \sup_{|x|\le \varepsilon} |f(x) - g_\varepsilon(x)| \le \sup_{|x|\le \varepsilon} |f(x) - T(x)| = \mathcal o(\varepsilon).$$ Por lo tanto, tenemos $$g_\varepsilon(0) = f(0) + \mathcal o(\varepsilon)$$ y $$ g_\varepsilon' = \frac{g_\varepsilon(\varepsilon) - g_\varepsilon(-\varepsilon)}{2\varepsilon} = \frac{f(\varepsilon) - f(-\varepsilon)}{2\varepsilon} + \mathcal o(1) \to f'(0).$$

Para $L_p$ media, $1\le p < \infty$ :

Arreglar algunos $p\in [1,\infty)$ . Para cualquier medida $\phi$ denotan su media $L_p$ norma por $$N_\varepsilon \phi = \sqrt[p]{\frac{1}{2\varepsilon} \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} |\phi(x)|^p\,dx}.$$ Dejemos que $g_\varepsilon$ ser un $L_p$ mejor aproximación en $[-\varepsilon, \varepsilon]$ . Entonces, también tenemos $$ N_\varepsilon (f - g_\varepsilon) \le N_\varepsilon (f - T) = \mathcal o(\varepsilon). $$ y $$ N_\varepsilon (g_\varepsilon - T) \le N_\varepsilon (f - g_\varepsilon) + N_\varepsilon (f - T) = \mathcal o(\varepsilon). $$