Multiplicación por la izquierda y por la derecha de las matrices

Question

Soy nuevo en la multiplicación de matrices y estoy tratando de entender algo. Suponga que tiene una ecuación matricial $ A x=b $ . Sé que hay que resolver para $x$ deberías dejar multiplicar por la inversa de A. Pero cuál es la razón por la que no puedes resolver por $b$ así: $ A A^{-1} x=b A^{-1} $ para que $ x=b A^{-1} $ ?

Lo he intentado con un ejemplo para ver que no funciona pero no entiendo bien la mecánica de por qué no.

¿Y si en lugar de esto tuvieras algo como esto?

$ A x = By $

¿podría resolver así?

$ AA^{-1} x = BA^{-1}y $

y luego obtener la solución $ x = BA^{-1}y $

o hay que resolver así

$ A^{-1}A x = A^{-1}By $

para obtener la solución

$ x = A^{-1}By $

Answer 1

Usted se pregunta por qué $AB=A'B'$ no implica $AEB = A'EB'$ . Te has dado cuenta de que la cosa es falsa. Así que no debes preguntarte "por qué es falsa" (que es una tontería) sino que debes preguntarte "por qué pensé que podía ser verdadera".

Sabe que aplicando la misma operación al mismo objeto obtendrá el mismo resultado. Así que si $A=B$ puedes multiplicar por la derecha y obtener $AC=BC$ o puede multiplicar por la izquierda y obtener $CA=CB$ . Si la multiplicación fuera conmutativa también se podría multiplicar "en el medio", ya que el orden de los factores no es relevante. Pero cuando la operación no es conmutativa esto no es admisible. Añadir un factor en medio de un producto como en $AB \to AEB$ no es una operación realizada en el objeto $AB$ por sí mismo, por lo que no hay razón para pensar que $AB=A'B'$ implicaría $AEB \neq A'EB'$ .

Answer 2

Emanuele y user228113 ya han dado muy buenas respuestas. Si se me permite añadir, la razón por la que $$Ax=By \nRightarrow AA^{-1}x = BA^{-1}y$$ es el mismo que está detrás de $$f(x) = g(y) \nRightarrow (f \circ f^{-1})(x) = (g \circ f^{-1})(y).$$

La multiplicación de matrices está definida para que funcione de derecha a izquierda, al igual que la composición de funciones. Esto permite que las matrices representen transformaciones lineales de forma más intuitiva. También es la razón por la que convencionalmente representamos los vectores como matrices de columna.

Answer 3

Tu segunda explicación es la correcta. Cuando se multiplica con matrices hay que pensar en multiplicar por la izquierda $A^{-1} \cdot$ o desde la derecha $ \cdot A^{-1}$ . En tu primer cálculo has multiplicado por la derecha $Ax\cdot A^{-1} = By \cdot A^{-1}$ . Esto no resolvería tu problema, ya que no puedes usar la conmutatividad en matricias como $AB\neq BA$ .