resolviendo esta EDO de 2º orden

Question

¿Podría alguien ayudarme con este problema?

Tengo una EDO de segundo orden como tal:

$$\frac{d^2x}{dt^2}+\beta \frac{dx}{dt} = f(t) $$

No estoy seguro de cómo resolver esta EDO lineal, esperaba que alguien pudiera ayudar.

¿se ve bien esto?

$$e^{\beta t} \frac{dx}{dt}+\beta e^{\beta t}x=e^{\beta t} g(t) $$

$$ \frac{d}{dt}( xe^{\beta t} )= e^{\beta t} g(t) $$

$$xe^{\beta t} = \int e^{\beta t} g(t) $$

$$x(t) = \frac{\int e^{\beta t} g(t)}{e^{\beta t}} $$

Answer 1

Integrar una vez y tenemos

$$\frac{dx}{dt} + \beta x = \int_{t_0}^t f(t') \ dt'$$

Llame al RHS $g(t)$ . Ahora, ¿sabes cómo manejar una ecuación del tipo

$$\frac{dx}{dt} + \beta x = g(t)$$ ?

Answer 2

Para proceder, primero resolveremos la ecuación homogénea asociada:

$$ \frac{d^2x_h}{dt^2}+\beta \frac{dx_h}{dt} = 0 $$

por supuesto que las soluciones serán: $$ x_h(t) = c_1 \cdot e^{\lambda_1}t + c_2 \cdot e^{\lambda_2}t $$ Dónde $ \lambda_{1,2} $ son las soluciones de la ecuación de segundo grado $$ \lambda^2 + \beta \cdot \lambda = 0 $$ Entonces, una vez que tenga $ x_h $ Entonces, se utiliza la variación de los parámetros (o cualquier enfoque de aniquilación) para encontrar un particular (sólo uno) $ x_p $ que resuelve: $$ \frac{d^2x_p}{dt^2}+\beta \frac{dx_p}{dt} = f(t) $$ y la solución general para: $$ \frac{d^2x}{dt^2}+\beta \frac{dx}{dt} = f(t) $$ es $$ x(t) = x_h(t) + x_p(t) $$

Answer 3

Así que para otra respuesta, el problema a resolver es: $$ \frac{d^2x}{dt^2}+\beta \frac{dx}{dt} = f(t) $$ utilicemos la sustitución, $r(t) = \dfrac{dx}{dt}$ para que y $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{d}{dt} \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2} $ . Tenemos entonces: $$ \dfrac{dr}{dt} + \beta r = f(t) $$ y se trata de una oda de primer orden que puede resolverse mediante el método del factor de integración