Comprobar si la integral $\int_1^∞ \frac{1}{x^{\frac{1}{x}+1}} dx$ convergente

Question

Necesito comprobar la convergencia de $\int_1^∞ \frac{1}{x^{\frac{1}{x}+1}} dx$ . Creo que la divergencia es mayor que $\int_1^∞ \frac{1}{x} dx$ pero no puedo probarlo. Tengo un indicio de que $\lim\limits_{x \to ∞} $$ x^{ \frac {1}{x}}$ es 1 pero no puedo descifrar su utilidad. ¿alguna ayuda? GRACIAS

Answer 1

Observe que $$\frac1{x^{\frac1x+1}}\sim_\infty \frac1x$$ lo que significa que: para $\epsilon>0$ hay $A>0$ tal que para $x\ge A$ tenemos $$\frac1{x^{\frac1x+1}}\ge (1-\epsilon)\frac1x$$

De esta desigualdad concluimos que la integral dada es divergente ya que $$\int_A^\infty\frac{dx}{x}=+\infty$$