¿Son las transformadas de Laplace un caso especial de las transformadas de Fourier?

Question

La Transformada de Laplace se basa en la integral:

$F(\xi) = \int_0^{\infty} f(x) e^ {-\xi x}\,dx.$

De forma indirecta, una transformada de Fourier puede llegar a $\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx,$
Además, ambos parecen utilizar convoluciones y transposiciones en formas "indirectas" de "multiplicación".

Answer 1

Tu fórmula para la transformada de Laplace es errónea. Debería ser $F(\xi) = \int_0^\infty f(x) e^{-\xi x}\, dx$ . Pero sí, cuando $\xi$ es imaginario se tiene (hasta la normalización) la transformada de Fourier de $f$ (considerada como una función sobre $(-\infty, \infty)$ que es 0 en $(-\infty, 0)$ ).

Answer 2

Según esto Vídeo en Youtube . efectivamente, la transformada de Laplace es una versión generalizada de la transformada de Fourier.

Las series de Fourier funcionan bien para las funciones que se acercan a cero a medida que t va $(-\infty, and, \infty)$ . No funciona para las funciones que van a un número grande ya que t va a $(-\infty, or, \infty)$ . La solución de La Place para manejar el segundo tipo de función es multiplicarla por una exponencial negativa como amortiguador, para transformar la función en F(t). Esta transformación crea una F(t) que es susceptible de ser utilizada por los métodos de Fourier.

Por lo tanto, una transformada de Laplace de f(t) es equivalente a la transformada de Fourier de F(t).