Demostrar que la serie con términos $\frac{n^n}{ (n+1)^{n+1}}$ diverge

Question

Demostrar que la serie con términos $\frac{n^n}{ (n+1)^{n+1}}$ diverge.

Me gustaría utilizar el test de comparación, pero no me sirve ya que puedo hacer más pequeño el numerador de la nueva serie o más grande el denominador y ambos métodos sólo me dan otra serie que converge.

Answer 1

$${{n^n}\over{(n+1)^{n+1}}}={n^n\over n^{n+1}}{1\over{(1+{1\over n})^{n+1}}}$$

$$={1\over n}{1\over{(1+{1\over n})^{n+1}}}$$ comparar con ${1\over n}$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\frac {n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac {1}{(n+1)}\frac {1}{\left(1+\frac 1n\right)^n}\begin{cases}\ge\frac {1}{e(n+1)}\\\sim \frac {1}{e(n+1)}\end{cases}$$

entonces utilice la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites con $\frac {1}{e(n+1)}$ .