Integral de contorno para el coseno y una función racional

Question

He tratado de averiguar esta integral mediante el uso de residuos:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle \frac{\cos{5x}}{x^4+1}dx$$

El contorno habitual del semicírculo no funcionará para este tipo, ya que el integrado no tiene límites. Mi idea vino de un libro que estaba leyendo sobre integración de contornos, donde dejamos que

$$f(z) = \displaystyle\frac{e^{(-5iz)}}{2(z^4+1)}+\displaystyle\frac{e^{(5iz)}}{2(z^4+1)}$$

Y hacer la integral en la obra compleja como sigue:

$\gamma_{1}= \text{The contour taken to be the top half of the circle in the counter clockwise direction}$ Este contorno utiliza el segundo término de $f(z)$

$\gamma_{2}= \text{The contour taken from $ -R $ to $ R $ on the real axis}$

$\gamma_{3}= \text{The contour taken to be the bottom half of the circle in the clockwise direction}$ Esto utiliza el primer término de $f(z)$ .

Al final, los contornos $\gamma_{1}$ y $\gamma_{3}$ están acotados y tenderán a $0$ como $R$ va al infinito, por lo que nos quedan las dos integrales que queremos.

Mi problema ahora es que al computar los residuos..todo parece anularse y estoy obteniendo $0$ . ¿Debo tomar un contorno diferente? Realmente no estoy seguro de lo que hice mal.

Answer 1

A continuación he dado el esqueleto de mi trabajo. Completa las piezas que faltan y compara tu respuesta con la mía.

Utilizando $\gamma=[-R,R]\cup Re^{i[0,\pi]}$ y los polos simples en $\frac{1+i}{\sqrt2}$ y $\frac{-1+i}{\sqrt2}$ dentro de $\gamma$ $$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(5x)}{x^4+1}\mathrm{d}x &=\mathrm{Re}\left(\int_\gamma\frac{e^{i5z}}{z^4+1}\mathrm{d}z\right)\\ &=\mathrm{Re}\left(2\pi i\left(\left[\frac{e^{i5z}}{4z^3}\right]_{z=\frac{1+i}{\sqrt2}} +\left[\frac{e^{i5z}}{4z^3}\right]_{z=\frac{-1+i}{\sqrt2}}\right)\right)\\ &=\mathrm{Re}\left(\frac{\pi}{2i}e^{-5/\sqrt2}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}e^{i5/\sqrt2} -\frac{1-i}{\sqrt2}e^{-i5/\sqrt2} \right)\right)\\ &=\pi e^{-5/\sqrt2}\mathrm{Im}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}e^{i5/\sqrt2}\right)\\ &=\pi e^{-5/\sqrt2}\mathrm{Im}\left(e^{i(5/\sqrt2+\pi/4)}\right)\\ &=\pi e^{-5/\sqrt2}\sin\left(\frac5{\sqrt2}+\frac\pi4\right) \end{align} $$ Mathematica 8 está de acuerdo numéricamente, pero su forma cerrada implica funciones complejas y no se parece en nada a lo que tengo arriba.

Answer 2

No es necesario calcular dos integrales diferentes. Tenga en cuenta que $\cos 5x = \operatorname{Re} e^{5ix}$ . Poner $$ f(z) = \frac{e^{5iz}}{z^4+1} $$ e integrar sobre la frontera de un semidisco en el semiplano superior. En el semicírculo $C_R^+$ : $$ \left| \int_{C_R^+} \frac{e^{5iz}}{z^4+1} \right| \le \frac{1}{R^4-1} \cdot \pi R \to 0 $$ como $R \to \infty$ desde $|e^{5iz}| \le 1$ en el semiplano superior. Calcula los residuos correspondientes y termina tomando la parte real.