La tarea en cuestión es calcular el polinomio zeta $Z(B_k, n)$ de la red booleana en $k$ elementos, que es el entramado formado por los subconjuntos de $\left\{1, \dots, k\right\}$ bajo inclusión. El polinomio zeta $Z(B_k, n)$ cuenta el número de multicadenas $t_1 \leq \dots \leq t_n = \{1, \dots, k\}$ de longitud $n$ en el entramado $B_k$ . Una multicadena es simplemente una cadena con repeticiones de elementos permitidas.
Un enfoque combinatorio directo descrito en el ejemplo 3.12.2 de [Combinatoria Enumerativa] muestra que $Z(B_k, n) = n^k$ . ¿Existe una aproximación biyectiva a ese resultado?
P.D: Esto es una tarea para casa, así que por favor no publiques las respuestas completas.
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¿Qué es una multicadena?
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@WilliamElliot Una multicadena es una cadena a la que se le permite (pero no se le exige) tener elementos repetidos. Por ejemplo, en $B_3$ , $(\emptyset, \{ 1 \}, \{1, 2\})$ es una cadena, y $(\emptyset, \{ 1 \}, \{ 1 \}, \{1, 2 \})$ es una multicadena.
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Hay infinitas multicadenas finitas en cualquier red.
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Como hay $2^n$ subconjuntos de {1,2,.. n}, $B_k$ tiene $2^n$ elementos.
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@WilliamElliot: He añadido algo más de información. Estoy específicamente interesado en multicadenas de longitud $n$ .
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Formado por los subconjuntos de {1,2,.. n} implica todos los subconjuntos. ¿Es ésa su intención?
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Perdón, quería decir formado por los subconjuntos de $\{1, 2, \dots, k\}$ . He mezclado $B_k$ con $B_n$ .