¿Por qué el gato de Schrödinger está en superposición y no en mezcla si se modela la desintegración con la regla de oro de Fermi?

Question

Estoy enseñando información cuántica para estudiantes de matemáticas de pregrado y como perspectiva pensé que sería genial que discutieran un poco sobre el gato de Schrödinger.

Más concretamente, me gustaría encontrar alguna explicación de cómo el gato llega a la superposición: \begin {align*} \frac { \vert { \text {sin descomposición, gato vivo} \rangle } + \vert { \text {decadencia, gato muerto} \rangle }}{ \sqrt {2}}. \end {align*}

Si miro una explicación estándar de la desintegración radiactiva usando la regla de oro de Fermi la desintegración ocurre si se tiene una pertubación $H'$ que permite hacer un túnel a un estado propio de menor energía. Si estás en un estado propio de un Hamiltoniano, entonces te quedas en un estado propio.

Pero, ¿no significa eso que el gato no termina en una superposición, sino que estará en una mezcla estadística entre vivo y muerto? ¿Tienes alguna explicación de cómo se podría lograr la superposición?

Answer 1

Creo que utilizar la regla de oro de Fermi aquí es ir demasiado lejos. Si miras una derivación estándar de la regla, verás que, a grandes rasgos, calculan una amplitud de transición $\langle f| e^{-iHt} |i\rangle$ (de forma equivalente, calculan la evolución temporal del estado inicial $|i\rangle$ ). Luego toman la magnitud al cuadrado, $\left|\langle f| e^{-iHt} |i\rangle\right|^2$ y diferenciar esto con respecto al tiempo para obtener la tasa de transición. Pero ya al tomar la magnitud al cuadrado, estás desechando tu información sobre el estado cuántico completo, preocupándote sólo de las probabilidades de los resultados de las mediciones en una sola base. Esto te da efectivamente una mezcla estadística.

Para conseguir el escenario del gato de Schrödinger, sólo hay que asegurarse de que el hamiltoniano y el tiempo se eligen de forma que $e^{-iHt} |\text{no decay, cat alive}\rangle = \frac{|\text{not decayed, cat alive}\rangle + |\text{decayed, cat dead}\rangle}{\sqrt{2}}$ Por ejemplo, si $U = e^{-iHt}$ es una puerta de Hadamard o una puerta de rotación de 90 grados. O incluso se podría modelar la situación como dos evoluciones temporales, una $U_1$ que pone la partícula en $\frac{|\text{not decayed}\rangle + |\text{decayed}\rangle}{\sqrt{2}}$ es decir, todo el sistema en $\frac{|\text{not decayed}\rangle + |\text{decayed}\rangle}{\sqrt{2}} \otimes |\text{alive}\rangle$ y otro $U_2$ que enreda a la partícula con el gato, es decir, una puerta CNOT "mata al gato si hubo un decaimiento" (esto también necesariamente resucita al gato si ya estaba muerto, ¡lo que podría ser un buen punto de partida para discutir la unitaridad!)

Puede asegurarse de que su $e^{-iHt}$ es una puerta de rotación $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ si se elige el hamiltoniano $H = -\sigma_y$ (la matriz de Pauli) y la duración $t = \pi/4$ . O si quieres $e^{-iHt}$ sea una puerta Hadamard, puede elegir $H = \mathrm{HG} - 2$ una puerta Hadamard menos dos veces la matriz identidad, y $t = \pi/2$ (¡gracias Mathematica!).

Answer 2

Tal y como yo lo veo, el gato de Schrödingers es en realidad sólo una metáfora de un estado que está en superposición, no algo en lo que realmente tenga sentido describir en términos de mecánica cuántica. Creo que esto es así porque:

1. La desintegración espontánea no forma parte de la mecánica cuántica. Como ha dicho, se necesitaría una perturbación, como en el decaimiento inducido, o introducirlo a mano. Una superposición de estados propios sólo aparece después de una medición en un tiempo fijo (por ejemplo, Stern-Gerlach o un fotón que pasa por un polarizador)
2. Un gato no es realmente un objeto mecánico cuántico. La idea de superposición está relacionada con la capacidad de cambiar de base. Algo que está en un estado propio en una base está en una superposición en otra base (piense de nuevo en un fotón con polarización). Un gato está vivo o muerto. No hay ningún cambio de base para acomodar ambos a la vez (excepto para el zombi, tal vez). Lo mismo ocurre con una emisión espontánea. O se produce o no se produce. No hay superposición de un átomo antes y después de la emisión de un fotón.

Avísame si he entendido algo mal o si hay preguntas.

Editar:
Para aclarar mi punto: Ni el gato de Schrödingers ni el montaje de la regla del goldón de Fermi son buenos ejemplos de una superposición en QM. Si OP quiere enseñarlo, es importante saber por qué exactamente es problemático.

Answer 3

La regla de oro de Fermi no es adecuada para describir una superposición coherente, ya que implica decoherencia y localización en el estado final (es decir, el colapso de la función de onda). La densidad de los estados finales, que se escribe explícitamente o aparece cuando se integra la función delta, suele estar oculta.

Answer 4

La descripción del gato como una superposición coherente de vivos y muertos es efectivamente errónea. La "mezcla estadística" que buscas es el formalismo de la matriz de densidad de von Neumann para la superposición incoherente. El estado es una matriz de densidad muy grande que incluye todos los posibles estados coherentes "vivos" y "muertos" del sistema. ¿Qué significa este estado? Siguiendo la interpretación estadística de la mecánica cuántica, representa un conjunto de gatos muertos y vivos. Ningún gato está medio vivo y medio muerto.

Answer 5

Siempre estará superpuesto en lugar de impuesto porque la anomalía de su existencia no permite la permanencia de su existencia. Si el gato de Schrödinger fuera un elemento permanente como un árbol con raíces, su tangibilidad estaría arraigada en la exactitud de su existencia.

Por eso el escenario es más que plausible. La naturaleza transitoria de las paradojas del cambio de tiempo se presta a su propia fluidez.