¿Es la secuencia $\big(f(n)-f(n+1)\big)$ ¿convergente?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to[0,+\infty)$ sea una función tal que $\int_{-‎\infty‎}^{+\infty}f(x)\,dx=1$ . Mi pregunta es:

¿Es la secuencia $\big(f(n)-f(n+1)\big)$ ¿convergente?

He descubierto que existen algunos $f$ tal que la secuencia $f(n)$ no es convergente, pero en mi investigación llegué a la mencionada pregunta. Intenté hacer una contradicción con la definición de integral impropia utilizando la propiedad $f$ "positivo". pero no pude lograr el objetivo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Para cada $n\in \mathbb{N}$ definir $f_n(x):\mathbb{R} \to [0,1]$ de la siguiente manera: $f_n(2n) = 1$ , $f_n(x) = 0 $ para $|x - 2n|\geq 2^{-n}$ y $f$ es lineal en los intervalos $[2n - 2^{-n}, 2n]$ y $[2n , 2n + 2^{-n}]$ . El gráfico de $f_n$ es simplemente una fina triángulo con altura $1$ con una base de longitud $2\times 2^{-n}$ , bordes iguales y área $2^{-n}$ . Definir $$ f(x) := \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x), \qquad x \in \mathbb{R}. $$ Entonces $f$ es no negativo y $$ \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_{\mathbb{R}} f_n(x) dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1. $$ Sin embargo, $$ f(2n) - f(2n+1) = 1 \text{ and } f(2n + 1 ) - f(2n+2) = -1 \text{ for all } n\in \mathbb{N}, $$ de ahí la secuencia $f(n) - f(n+1)$ no converge.

Answer 2

Sin condiciones adicionales, la respuesta es no. Consideremos, por ejemplo, la función $$f(x)=\begin{cases} 2^{n} &\text{if $ x \in [n,n+1/2^{2+1}] $ with $ n \in\mathbb {N} $,}\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases}$$ Entonces $$\lim_{n\to+\infty}\big(f(n)-f(n+1)\big)=\lim_{n\to+\infty}\big(2^n-2^{n+1}\big)=\lim_{n\to+\infty}(-2^n)=-\infty$$ y $$\int_{-‎\infty‎}^{+\infty}f(x)\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{2^{2n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}=1.$$ P.D. Como señala N. S. en un comentario anterior, si $f$ es uniformemente continua entonces el límite requerido existe y es cero. Véase $f$ uniformemente continua y $\int_a^\infty f(x)\,dx$ converge implica $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

Answer 3

Sólo toma $$f(x)=\begin{cases}1&\text{ if }x\in[0,1]\\x^2+1&\text{ if }x\in\mathbb{N}\\0&\text{ otherwise.}\end{cases}$$ Entonces sus condiciones se mantienen, pero $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigl(f(n)-f(n+1)\bigr)$ diverge.