Ejemplo de grupo $G$ con exactamente $n$ subgrupos (incluyendo el trivial y $G$ mismo).

Question

Estoy leyendo "Álgebra abstracta contemporánea". por Gallian.

Este es el ejercicio 4.39.

Dé un ejemplo de un grupo que tenga exactamente $6$ subgrupos (incluyendo el trivial y el propio grupo). Generalizar a exactamente $n$ subgrupos para cualquier número entero positivo $n$ .

Mi intento:

I sospecha que $\Bbb Z_{p^3q}$ tiene seis subgrupos para distintos primos $p$ y $q$ . ¿Por qué? Porque puedo visualizar su diagrama de Hasse de subgrupos como dos paralelogramos del mismo tamaño, que comparten una arista del mismo tamaño, con exactamente seis vértices/nodos en el diagrama correspondientes a los subgrupos.

Lo anterior es impreciso. No estoy interesado en calcular los subgrupos (todavía) ya que dudo que hacerlo sea edificante.

Así que no puedo asegurar que mi grupo de candidatos funcione.

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Las soluciones en el libro son las siguientes (y cito):

"Para $6$ Utilizar $\Bbb Z_{2^5}$ . Para $n$ Utilizar $\Bbb Z_{2^{n-1}}$ ."

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Mi principal problema:

¿Cómo se puede responder al ejercicio 4.39 utilizando las herramientas disponibles en el libro hasta ahora, sin hacer demasiados cálculos?

Por favor, ayuda.

Answer 1

Sugerencia : Si $G $ es un grupo cíclico de orden $n$ entonces para cada entero positivo $m$ dividiendo $n$ existe un único subgrupo de $G$ de orden $m $ . ¿Cuántos divisores hay para $2^{n-1}$ ?