Área de una región delimitada entre dos curvas

Question

Consulte la siguiente imagen .

A partir de la fórmula, gráficamente, para obtener el área de la región delimitada entre las dos curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ Se supone que debo restar el área de la región sombreada en el gráfico $2$ del área de la región sombreada en el gráfico $1$ para poder obtener el área entre las dos curvas.

Puedo entender por qué debería restar esa pequeña porción (delimitada por el gráfico $y=g(x), x=b$ y el $x$ -), pero no puedo entender que se reste la parte (que está por debajo del eje x) limitada por $y=g(x)$ y $x=a$ y $x=c$ donde c es el $x$ -coordenada del punto donde la gráfica $y=g(x)$ corta el $x$ -eje. No puedo entender por qué hay que restarlo porque esta porción nunca formó parte de la región sombreada de $y=f(x)$ ¡de todos modos! ¡Parece que estoy restando algo innecesariamente! ¿Puede alguien explicar esto, visualmente si es posible?

Nota : En ambos gráficos $1$ y $2$ He incluido el otro gráfico en líneas de puntos.

Answer 1

Tal y como está planteado el problema no deberías restar el área de arriba $g(x)$ de la zona bajo $f(x)$ geométricamente hablando porque las áreas no están definidas para ser negativas (por lo que a menudo utilizamos valores absolutos en estas situaciones) . De hecho para obtener el área de la región sombreada entre las dos hay que sumarlas. Recuerda que el área dada por una integral con respecto a $x$ es el área entre la región delimitada y la $x$ -eje.

Sin embargo, la llamada "zona" de arriba $g(x)$ será negativa, por lo que acabarás sumando las dos integrales en lugar de restarlas. La integral de una curva por debajo del $x$ -El eje es siempre un valor negativo por lo que se obtiene el valor positivo: $$\int^{b}_{a}f(x)dx -(-\int^{b}_{a}g(x)dx)$$ $\implies$ $$\int^{b}_{a}f(x)dx +\int^{b}_{a}g(x)dx$$ Así, no se acaba restando. Otra forma es ver las dos áreas en términos de valor absoluto, que si se visualiza lo siguiente debería dejar las cosas claras: $$|\int^{b}_{a}f(x)dx| +|\int^{b}_{a}g(x)dx|$$

Y, si debes realizar/entender la resta geométricamente entonces una forma de hacerlo sería añadir alguna constante $c$ a ambas funciones de manera que $g'(x) = 0$ (para asegurarse de que el mínimo toca el $x-axis$ ) para algunos $x \in [a,b]$ Básicamente si añades alguna constante elevas las gráficas de las funciones para que la tu $g(x)$ tiene su punto más bajo tocando el $x$ -eje que le da la configuración que necesita y luego resta el valor integral de $g(x)+c$ del valor integral de $f(x)+c$ . Por ejemplo, a continuación $c = 4$ y se ha añadido a ambas funciones, por lo que como probablemente puedas observar el área entre ellas es la misma, aunque en el caso de las funciones con la constante añadida estarás restando áreas positivas. Será una resta de dos áreas positivas en el sentido convencional de la geometría.

donde el gráfico azul se convierte en el gráfico verde y el rojo en el negro.

Espero que eso ayude.

Answer 2

El área viene dada por $$\left|\int_{a}^b f(x)dx\right|+\left|\int_a^bg(x)dx\right|$$

$$\int_{a}^b f(x)dx-\int_a^bg(x)dx$$

Como g(x) está en el lado negativo de y.

Answer 3

Creo que tienes razón en que no debería restar el área que se encuentra por debajo del eje x y debería añadir esta área. El hecho es que el $\int_a^cg(x)dx$ no es positivo sino un valor negativo. Así que al "restar" se acaban sumando estas dos áreas.