forma alternativa de probar $\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$ converge a $\ln 2$ sin usar integrales

Question

Encontré muchas respuestas a este problema usando sumas de Riemann, yo mismo lo resolví reescribiendo la suma de logaritmos, pero hay otra forma en la que debes usar las siguientes pistas.

Demostrar que

$$\exp \left( \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n} \right) = 2$$

utilizando las siguientes identidades

(1). Existe una secuencia no negativa $x_k$ que convergen a cero, y

$$\exp \left(\frac{1}{k} \right) = \left(1+\frac{1}{k} \right)\times \exp\left(\frac{x_k}{k} \right)$$

(2). $$\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x)-1}{x}=1$$

Para demostrar $(1)$ Quería reescribir

$$\exp\left(\frac{1}{k} \right)\times \frac{1}{1+\frac{1}{k}}$$ y ampliar $$\frac{1}{1+\frac{1}{k}} = \frac{1}{1-\frac{-1}{k}}$$ como secuencia geométrica para encontrar $x_k$ pero no consigo nada útil.

Para $(2)$ Pensé que uno debería "estirarse"

$$\sum_{k=1}^n \left(\exp\left(\frac{1}{k+n}\right)-1 \right)$$

que tiene el mismo límite (lo he demostrado) que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n}$ y reescribirlo como

$$\sum_{k=1}^n \frac{\exp\left(\frac{1}{k+n}\right)-1}{\frac{1}{k+n}}\frac{1}{k+n}$$

¡Agradezco cualquier consejo o respuesta!

Answer 1

Utilizando la desigualdad $$\frac{1}{(n+1)}<\ln(\frac{n+1}{n})<\frac{1}{n}$$ ( Ya que $\frac{1}{(n+1)}*1<\ \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x} \,dx <\frac{1}{n}*1$ (piense en el área gráficamente) ), podemos escribir $\ln(\frac{n+1}{n})<\frac{1}{n}$$ < $$\frac{1}{n-1}<ln(\frac{n-1}{n-2})$ . Entonces, la suma de $n$ a $2n$ y tomar $\lim_{n\to\infty}$ .

$ \sum_{i=0}^{n}ln(\frac{n+i+1}{n+i})$$ <$ $\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{n+i} $$ < $$ \sum_{i=0}^{n} ln(\frac{n+i-1}{n+i-2})$

\= $\ln(\frac{n+1}{n}*\frac{n+2}{n+1}*...*\frac{2n+1}{2n})<\frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}<ln(\frac{n-1}{n-2}*\frac{n}{n-1}*...*\frac{2n-1}{2n-2})$

\= $\ln(\frac{2n+1}{n})<\frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}<ln(\frac{2n-1}{n-2})$

$\lim_{n\to\infty}$$\ln ( \frac {2n+1}{n})< $$\lim_{n\to\infty}$$ ( \frac {1}{n}+ \frac {1}{n+1}+...+ \frac {1}{2n})< $$\lim_{n\to\infty}$$ ln( \frac {2n-1}{n-2})$

$\lim_{n\to\infty}$$\ln (2+ \frac {1}{n})< $$\lim_{n\to\infty}$$ ( \frac {1}{n}+ \frac {1}{n+1}+...+ \frac {1}{2n})< $$\lim_{n\to\infty}$$ ln( \frac {2- \frac {1}{n}}{1- \frac {2}{n}})$

Verá por el teorema del sándwich el valor viene a ser $\ln2$ .