Por qué $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}[2]$ es de orden $2$ ?

Question

¿Por qué si $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}$ es cíclico, el grupo de sus elementos de orden dividiendo $2$ es de orden 2?

Answer 1

Tomemos el grupo cíclico $x^0,x^1,x^2$ el único elemento con orden que divide $2$ es es $x^0$ desde $(x^1)^2=x^2$ y $(x^2)^2=x^1$ . Así que el subgrupo del grupo cíclico de orden $3$ que consiste en los elementos que tienen orden de división $2$ no es de orden $2$ .

De hecho tu afirmación sólo es cierta para grupos cíclicos de orden par.

Sin embargo, dado que el orden de $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}$ es incluso para $N\neq 1,2$ la afirmación es cierta.

Answer 2

También es necesario $N>2$ . En un grupo cíclico, para cada divisor $d$ del orden del grupo hay exactamente $\varphi(d)$ elementos de orden $d$ . Desde $\varphi(N)$ es uniforme para todos $N>2$ su grupo $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ tiene un orden par para que $2$ es un divisor. Entonces se tienen elementos de orden $1$ y $2$ para contar (estos son los que tienen un orden que divide a 2). Sólo tenemos la identidad de orden 1, y $\varphi(2)=1$ elemento de orden 2, así que exactamente 2 elementos.