Supongamos que $G$ y $H$ son dos grupos abelianos libres de rango contable pero no finito. Es un homomorfismo no trivial $f: G \rightarrow H$ ¿es necesariamente inyectiva?
La intuición me dice que sí, pero me preocupa lo que ocurre cuando el rango deja de ser finito. No me siento cómodo con los grupos que no están generados finitamente, ya que rara vez surgen.
La realización obvia de un grupo abeliano libre contablemente generado es $\bigoplus_{i = 1}^\infty \mathbb{Z} $ . Es decir, las secuencias de números enteros $(x_i)_{i=1}^\infty$ con soporte finito (un número finito de términos no nulos).
Podemos hacer un homomorfismo de este conjunto a sí mismo, $(x_i)_{i = 1}^\infty \mapsto (x_1, 0, 0, \dots)$ , colapsando todo excepto el primer término a cero, y esto está bastante lejos de ser inyectivo.
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