¿Cómo se resuelve este problema de la integral de Riemann?

Question

Supongamos que $f$ es integrable de Riemann en $[a,b].$ ¿Existe un número real $c\in [a,b]$ tal que $$\int_a^c f(x)\,dx=\int_c^b f(x)\,dx$$ ? Si es así, demuéstralo, si no, pon un contraejemplo.

Answer 1

Si $f$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ entonces $f$ está acotado, es decir, existe un $M$ tal que $|f(x)|\leq M$ para todos $x\in[a,b]$ . Esto implica que la función $$F(x):=\int_a^x f(t)\>dt\qquad(a\leq x\leq b)$$ es continua de Lipschitz con constante $M$ . Dejemos que $\int_a^b f(t)\>dt=:C$ . Entonces $F(a)=0$ y $F(b)=C$ . Por el teorema del valor intermedio existe entonces un $c\in[a,b]$ con $F(c)={C\over2}$ (cuando $C=0$ elija $c=a$ ). Es fácil ver que entonces tenemos $$\int_a^c f(t)\>dt={C\over2}=\int_c^b f(t)\>dt\ .$$