Sea X una v.r. continua no negativa con pdf f(x)

Question

Dejemos que $G(t)=\int_t^\infty$$ f(x)dx$

Demostrar que

$E[X^2] = 2\int_0^\infty$$ tG(t)dt$

Hace años que no tomo un curso de probabilidad y recuerdo un teorema donde X tiene una función de densidad $f$ y algo de Y=r(X) y luego se usa eso para encontrar la función de distribución y posteriormente la función de densidad de Y, pero no recuerdo que se encuentre el valor esperado de $X^2$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Por el Ley del Estadístico Inconsciente (véase Wikipedia) tenemos $$E(X^2)=\int_0^\infty t^2f(t)\,dt$$ Ahora utilice la integración por partes, dejando que $u=t^2$ y $dv=f(t)\,dt$ . Nótese que por el Teorema Fundamental del Cálculo tenemos $G'(t)=-f(t)$ .