Ángulo entre un vector y producto cruzado de dos vectores

Question

El ángulo entre los vectores $\overrightarrow {a}$ y $\overrightarrow {b}$ es $\pi/3$ , $\overrightarrow {b}$ y $\overrightarrow {c}$ es $\pi/4$ , $\overrightarrow {c}$ y $\overrightarrow {a}$ es $\pi/6$ . Encuentre el ángulo entre $\overrightarrow {a}$ y $\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}$

Intenté calcular el ángulo dibujando el diagrama y la geometría pero no me funcionó. El método de fuerza bruta de fijar dos de los vectores como vectores de posición convenientes también se complicó.

¿Cómo podemos evaluar esto? Preferiría un enfoque general, pero si no lo hay, un enfoque de fuerza bruta también estaría bien.

Answer 1

Sólo necesitamos ángulos, así que supongamos que todos los vectores son vectores unitarios. Los ángulos entre vectores son ab , bc y ca .

Ahora $$\sin\theta=\frac{\left|\overrightarrow a \times(\overrightarrow b \times \overrightarrow c)\right|}{\left|\overrightarrow a\right|\cdot|b\times c|}=\frac{\left|(a\cdot c)\overrightarrow b-(a\cdot b)\overrightarrow c\right|}{|a|\cdot|b|\cdot|c|\cdot\sin bc}$$ $$=\frac{\left|\overrightarrow b \cos ac-\overrightarrow c \cos ab\right|}{\sin {\pi \over 4}}$$ $$=\frac{\sqrt{1^2\cdot\cos^2 ac+1^2\cdot \cos^2 ab-2(\cos ac)(\cos ab)(\cos ac)}}{{1 \over \sqrt2}}$$

Puedes llevarlo desde aquí.

Answer 2

Supongamos que los vectores unitarios WLOG y $\vec a=\hat i$ y $\vec b\in (x,y)$ plano, entonces tenemos que

• $\hat i\cdot \vec b =\frac12 \implies b_x=\frac12,\; b_y=\frac{\sqrt 3}2$
• $\vec b\cdot \vec c =\frac{\sqrt 2}2\implies \frac12 c_x+\frac{\sqrt 3}2c_y=\frac{\sqrt 2}2 \implies c_x+\sqrt 3 c_y=\sqrt 2$
• $\vec c\cdot \hat i =\frac{\sqrt 3}2 \implies c_x=\frac{\sqrt 3}2 \implies c_y=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}-\frac{1}{2}$

entonces podemos encontrar $c_z$ y finalmente el ángulo solicitado.

A continuación se muestra un gráfico de este particular solución

Answer 3

He aquí una solución, que es bastante general:

Suponiendo que los vectores son 3D con base ortonormal derecha $(\hat i,\hat j, \hat k)$ :

Sin pérdida de generalidad, fijar $\overrightarrow a$ como $a \hat i$ y $\overrightarrow b$ como $b(\cos\frac\pi 3 \hat i + \sin\frac\pi 3 \hat j) = b(\frac 12 \hat i + \frac{\sqrt{3}} 2 \hat j)$ . Sabemos que $c$ debe ser de la forma $c(cos\frac\pi6 \hat i + s \hat j + t \hat k)=c(\frac {\sqrt3}2 \hat i + s \hat j + t \hat k)$ .

Para mantener las cosas en general, dejemos $x = \frac\pi6.$ Así que tenemos: $$\cos^2x + s^2 + t^2 = 1$$ $$s^2 + t^2 = \sin^2x$$

Tengamos otra variable, digamos, $y$ . Podemos escribir $s$ como $\sin x \cos y$ y $t$ como $\sin x \sin y$ y nuestra ecuación se mantendrá como $$s^2 + t^2 = \sin^2x(\cos^2 y + \sin^2 y)$$ Si podemos encontrar $y$ podemos encontrar $s,$ $t$ y, por tanto, el vector $c$ . Tenemos información que nos ayudará a hacerlo. $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c$ nos da que $$\frac{\cos x}2 + \sqrt3\frac{\sin x\cos y}2 = \cos z$$ donde $z$ es el ángulo entre $b$ y $c$ aquí, $\frac\pi4$ . Así que, aquí, tenemos $$\frac{\cos x}2 + \sqrt3\frac{\sin x\cos y}2 = \frac1{\sqrt2} $$ $$\cos y = \frac{2\sqrt 2}{\sqrt3} - 1$$ $$s = \sqrt{\frac 23} - \frac12$$ $$t = \sqrt{\sin^2x-s^2} = \sqrt{\sqrt\frac23-\frac23}$$ Ahora tenemos los vectores necesarios para darnos la respuesta. Tomemos el producto de la caja $[\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c]$ . Esto es $a|\overrightarrow b \times \overrightarrow c| \cos\theta$ . Dividir por las magnitudes y tomar su $\arccos$ .

Así que tenemos el producto de la caja como:

$$\triangle = abc\begin{vmatrix} 1&0&0\\{\frac 12}&{\frac{\sqrt3}2}&0\\\frac{\sqrt3}2&\sqrt\frac23 -1&\sqrt{\sqrt\frac23 -\frac23}\end{vmatrix}$$ Así que nuestra respuesta es $$\theta = \arccos\frac\triangle{abc\sin z}$$ como se ha observado anteriormente ( $|b\times c| = bc\sin z$ donde $z$ es como hemos descrito anteriormente)

Ampliar $\triangle$ por posición $1,1$ obtenemos $$\boxed{\theta = \arccos \sqrt{\sqrt\frac32 -1} \approx 1.0769 rad}$$

Answer 4

Acabo de recibir otra solución.

Considere $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ sean vectores unitarios.

$$\left| \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) \right| ^{2}=\begin{vmatrix} \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {a} & \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} & \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {c} \\ \overrightarrow {b}\cdot \overrightarrow {a} & \overrightarrow {b}\cdot \overrightarrow {b} & \overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {c} \\ \overrightarrow {c}\cdot \overrightarrow {a} & \overrightarrow {c}\cdot \overrightarrow {b} & \overrightarrow {c} \cdot \overrightarrow{a} \end{vmatrix}$$ (producto de dos determinantes)

$$=\begin{vmatrix} 1 & \dfrac {1}{2} & \dfrac {\sqrt {3}}{2} \\ \dfrac {1}{2} & 1 & \dfrac {1}{\sqrt {2}} \\ \dfrac {\sqrt {3}}{2} & \dfrac {1}{\sqrt {2}} & 1 \end{vmatrix}$$

$$=\frac{\sqrt3}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2}$$ $\implies \cos^2(\theta) \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt3}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2}$

$\implies \theta = \cos^{-1} \left(\sqrt{\sqrt{\frac{3}{2}}-1} \right)$ es el ángulo requerido.