Utilice una prueba por casos para demostrar que $\lfloor n/2 \rfloor$ * $\lceil n/2 \rceil$ = $\lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor$ para todos los enteros $n$ .

Question

Pregunta
Utilice una prueba por casos para demostrar que $\lfloor n/2 \rfloor$ * $\lceil n/2 \rceil$ = $\lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor$ para todos los enteros $n$ .

Mi intento:
Sólo se me ocurren dos casos,

• $n/2 \in \mathbb{Z}$
• $n/2 \notin \mathbb{Z}$

El primer caso es sencillo:

$\lfloor n/2 \rfloor = \lceil n/2 \rceil = n/2$ ,

$\frac{n}{2}*\frac{n}{2} = \frac{n^2}{4}$

El segundo caso me preocupó,

$\lceil n/2 \rceil = \lfloor n/2 \rfloor + 1\\ \lceil n/2 \rceil = \lfloor n/2 + 1\rfloor$

$n/2 - 1 \leq \lfloor n/2 \rfloor < n/2\\ n/2 \leq \lfloor n/2 + 1 \rfloor < n/2 + 1$

Multiplico ambas desigualdades,

$\frac {n^2 - 2n}{4} \leq \lfloor n/2 \rfloor * \lfloor n/2 + 1 \rfloor < \frac{n^2 + 2n}{4}$

Tengo que demostrar que $\lfloor n/2 \rfloor * \lfloor n/2 + 1 \rfloor$ debe ser al menos $n^2 /4$ y menos de $n^2 /4 + 1$ Esto asegura que si piso eso, será $n^2/4$ pero estoy perdido.

Mi segundo intento (no creía que la parte superior tuviera que ir a ningún sitio). Esta vez utilicé un poco de épsilon $\epsilon \in (0, 1)$ ,

$\lfloor n/2 \rfloor = n/2 - \epsilon\\ \lceil n/2 \rceil = n/2 + 1 - \epsilon$

$\lfloor n/2 \rfloor * \lfloor n/2 + 1 \rfloor = (n/2 - \epsilon)*(n/2 + 1 - \epsilon)\\ = n^2/4 + n/2 - n*\epsilon/2 - n*\epsilon/2 - \epsilon + \epsilon ^ 2\\ = n^2/4 + n/2 - 2n\epsilon/2 + 2\epsilon^2/2\\ = n^2/4 + \frac{n-2n\epsilon - 2\epsilon + 2\epsilon^2}{2}$

El problema ahora es que tengo que demostrar que $\frac{n-2n\epsilon - 2\epsilon + 2\epsilon^2}{2}$ está entre 0 y 1. Realmente no creo que esta sea la solución tampoco así que me rendí.

Answer 1

Por qué hacerlo tan complicado:

Caso 1: n es par. Sea n = 2k.

$\lceil n/2 \rceil \times \lfloor n/2 \rfloor = k * k = \lfloor n^2/4 \rfloor$

Caso 2: n es impar. Sea n = 2k + 1.

$\lceil n/2 \rceil \times \lfloor n/2 \rfloor = k (k + 1) = \lfloor n^2/4 \rfloor$ como $n^2/4 = (4k^2 + 4k + 1)/4 = k(k+1) + 1/4$

Answer 2

Así que tienes el caso cuando $n$ está en paz. Cuando $n$ es impar, entonces $\lfloor n/2 \rfloor * \lceil n/2 \rceil = \frac{n - 1}{2} * \frac{n + 1}{2} = \frac{n^2 -1}{4}$ .

Queremos demostrar que esto es igual al lado derecho. Como $n^2/4 = (n/2)^2$ podemos reescribir $n^2/4$ como $(m + 1/2)^2$ donde $m$ es un número entero, y $m = \frac{n-1}{2}$ . Además, $(m + 1/2)^2 = m^2 + m + 1/4$ .

Observe que $\lfloor m^2 + m + 1/4 \rfloor = m^2 + m$ desde $m$ es un número entero. Vamos a escribir $m^2 + m$ en términos de $n$ :

$m^2 + m = \frac{(n-1)^2}{2^2} + \frac{n-1}{2} = \frac{n^2 - 2n + 1}{4} + \frac{2n - 2}{4} = \frac{n^2 -1}{4}$ .

Espero que no sea demasiado indirecta. Lo importante era mostrar que el suelo $n^2/4$ es lo mismo que restar $1/4$ .