blomqvist beta está limitada entre -1 y 1

Question

Hemos visto durante la conferencia la beta de Blomqvist como medida de asociación entre X e Y:

$P((X-x_0)(Y-y_0)>0)-P((X-x_0)(Y-y_0)<0)$ con $x_0 = \text{med}(X)$ y $y_0 = \text{med}(Y).$

Como es una medida de asociación, asumo que está acotada entre -1 y 1. Buscando en la web lo confirmo, pero sólo encuentro pruebas que hacen uso de cópulas, con las que no estoy familiarizado.

¿Puede alguien ayudarme a probar esto sin el uso de cópulas?

Gracias.

Answer 1

Para la acotación, creo que la prueba es bastante más trivial de lo que crees. Como la medida se define como una diferencia entre probabilidades, y las probabilidades están acotadas entre $0$ y $1$ se tiene automáticamente que la diferencia está acotada entre $-1$ y $1$ .

Los escenarios extremos serían si la primera probabilidad es $0$ y la segunda, por tanto $1$ por lo que la beta de Blomqvist es $-1$ . El otro extremo se da con la inversa, es decir, la primera probabilidad es $1$ .