Dejemos que $A$ sean matrices complejas y $x$ sea el valor propio de $A\overline{A}$ .

Question

Dejemos que $A$ ser no singular $n\times n$ matrices complejas y $x$ sea el valor propio negativo de $A\overline{A}$ . Demuestre que la multiplicidad algebraica de $x$ es un número par.

Demuestro que el $\det(A\overline{A})>0$ por lo que el número de valores propios negativos es par . Pero me quedé para demostrar la multiplicidad algebraica de $x$ es un número par.

Answer 1

$\textbf{Proposition.}$ Si $A\in M_n(\mathbb{C})$ y $\lambda\in spectrum(A\overline{A})\cap (-\infty,0)$ entonces $\lambda$ tiene una multiplicidad algebraica par.

$\textbf{Proof}.$ La clave es: "hay $S\in GL_n(\mathbb{C}),R\in M_n(\mathbb{R})$ s.t. $A=S{R\overline{S}}\;^{-1}$ " (Corolario 4.6.15 en Matrix Analysis de Horn,Johnson, citado por el usuario1551 -que tiene buenas lecturas-).

Entonces $A\overline{A}=SR^2S^{-1}$ y $spectrum(A\overline{A})=\{\mu^2;\mu\in spectrum(R)\}$ (igualdad de listas).

Así, $\pm i\sqrt{-\lambda}$ son valores propios de la matriz real $R$ ya que tienen la misma multiplicidad, $\lambda$ tiene multiplicidad algebraica par. $\square$

$\textbf{Remark}.$ Esto implica el famoso resultado $\det(I+A\overline{A})\geq 0$ .

Sí, es cierto, $\det(I+A\overline{A})=\det(I+R^2)=\det((I+iR)(I-iR))$ .