Integral real $ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} $ con la ayuda de amigos complejos

Question

Tengo que resolver la integral $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} $$ haciendo esto:

Dado un rectángulo definido por los puntos $ r+i, -r+i,-r-i,r-i$ , $r>0$ y $\gamma_r$ es una curva cerrada de orientación positiva alrededor del límite de este rectángulo. Entonces debería demostrar que $$ \lim_{r \rightarrow \infty} \int_{\gamma_r} \frac{1}{z} dz=2\pi i.$$

Y al usar esto, se supone que debo evaluar $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}. $$

Hay dos cosas que me parecen difíciles, la primera es: ¿Por qué hay un límite para la primera integral? Porque utilizando el teorema de la integral de Cauchy esta debería ser la misma que la integral alrededor del círculo $$C: \gamma(t)=|r+i|e^{it}$$ y por lo tanto $$ \int_0^{2\pi} \frac{1}{|r+i|e^{it}}^{i|r+i|e^{it}} dt=2 \pi i.$$

Por lo tanto, no es necesario ningún límite, lo que me hace pensar que esta forma debe ser errónea.

La segunda cosa que no entiendo es, ¿cómo se relacionan ambas integrales entre sí?

Answer 1

Escribamos las integrales sobre los cuatro lados del rectángulo: \begin {align} &I_1= \int_ {r-i}^{r+i} \frac {dz}{z}= \int_ {-1}^{1} \frac {idt}{r+it}, \\ &I_2= \int_ {r+i}^{-r+i} \frac {dz}{z}=- \int_ {-r}^{r} \frac {dt}{t+i}, \\ &I_3= \int_ {-r+i}^{-r-i} \frac {dz}{z}=- \int_ {-1}^{1} \frac {idt}{-r+it}, \\ &I_4= \int_ {-r-i}^{r-i} \frac {dz}{z}= \int_ {-r}^{r} \frac {dt}{t-i}. \end {align} A continuación, consideremos la suma $$I_2+I_4=\int_{-r}^{r}\left(\frac{1}{t-i}-\frac{1}{t+i}\right)dt=2i\int_{-r}^r\frac{dt}{1+t^2}.$$ El límite de esta suma como $r\rightarrow\infty$ es proporcional a la integral que queremos encontrar. Por otro lado, el límite de $I_1$ y $I_3$ es cero (ambos son $O(1/r)$ ).

Por lo tanto, podemos escribir $$\lim_{r\rightarrow\infty}(I_1+I_2+I_3+I_4)=2i\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^2+1}=2\pi i,$$ que da la respuesta.