Las descomposiciones paradójicas de conjuntos suelen requerir el axioma de elección; Hausdorff o Banach-Tarski son ejemplos bien conocidos. Una descomposición paradójica de un conjunto puntual sin el axioma de elección ha sido construida por Sierpinski y Mazurkiewicz . Un conjunto $S$ es la unión de dos conjuntos $A$ y $B$ . Cuando los elementos de $A$ se giran ( $\rho$ ) en un radián, entonces $\rho$$ A = S $, and when the elements of $ B $ are translated ($\tau$) by one unit, then $\tau$$B = S$ también.
Hay una variante sencilla. Descomponer el conjunto $\mathbb{Z}$ de todos los enteros en $A$ el conjunto de los números enteros pares, y $B$ el conjunto de enteros Impares. Cuando los elementos de $A$ se dividen $(\delta)$ por 2, entonces $\delta$$ A = \mathbb {Z} $. When the elements of $ B $ are translated by one unit (in positive or negative direction) and then divided by 2, then $\delta\tau$$B = \mathbb{Z}$ .
Lo mismo se puede mostrar para otros conjuntos $S$ por ejemplo, el conjunto de enteros positivos (entonces $B$ debe ser traducido por +1).
Mi pregunta: ¿Han aparecido ya estas descomposiciones paradójicas en la literatura? Me gustaría incluirlas en mis conferencias con una cita apropiada, pero todavía no he podido encontrar una fuente o un autor.
