La cuestión es que necesitas un meta-sistema MS en el que hacer tus razonamientos sobre el lenguaje formalizado que estás estableciendo, que podría ser por ejemplo FOL. También necesitas trabajar dentro de MS para describir el sistema formal que deseas estudiar, como ZFC. En algunos libros de texto de lógica modernos, dirán que MS es ZFC o algo así, pero eso es un poco engañoso porque todavía no hay manera de describir ZFC sin usar en el fondo el lenguaje natural NL. Esta circularidad en el fondo no puede escaparse . Ni siquiera es sólo el problema de que se utilicen símbolos físicos que son ligeramente diferentes con cada instancia del mismo alfabeto (como ha señalado Mauro), sino que también existe el problema de que no se pueden describir las reglas de ningún sistema sin depender en algún momento de la comprensión preexistente de los conceptos de "si" y "repetir".
Psicológicamente, tienes que utilizar tu propia mente humana para interpretar cualquier afirmación matemática, y al hacerlo tienes que formarte de algún modo una construcción mental que crees que el autor pretende transmitir (a través de cualquier medio físico). ¿Quién sabe si lo has conseguido? ¿Cómo puede saberlo? Sin embargo, sí sabes subjetivamente si las matemáticas prácticas parecen funcionar empíricamente para permitirte predecir con precisión cosas del mundo real, por lo que hay razones para creer que debes estar aprendiendo correctamente de alguna manera lo que te enseñaron tus profesores de matemáticas.
Desde el punto de vista filosófico, hay que darse cuenta de que no puede haber ningún razonamiento puramente matemático sobre el mundo real, porque sencillamente no hay forma de referirse a ningún objeto del mundo real sin utilizar algún "gancho del mundo real", como alguna frase del lenguaje natural. Los símbolos carecen por completo de significado hasta que se les dota de él mediante alguna interpretación. Incluso la propia lógica clásica se diseñó precisamente para captar el razonamiento sobre nuestra única realidad. ¿Por qué tenemos siquiera el concepto de "verdadero" y "falso"? Evidentemente, porque (hablando vagamente) toda afirmación suficientemente precisa sobre la realidad o se cumple o no se cumple (y nunca ambas cosas). Un análisis cuidadoso en esta línea también disipa totalmente las paradojas comunes .
