He visto esta pregunta lo que nos llevó a preguntarnos: ¿podemos clasificar todas las transformaciones de Möbius (con coeficientes complejos) de orden finito? En particular, ¿están constituidas únicamente por las rotaciones? Tengo la sensación de que la manipulación simbólica no es el camino a seguir -y de hecho no he llegado a ninguna parte con esto- y agradecería alguna idea.
Respuestas
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Toda transformación de Möbius que no sea la identidad es conjugada a una traslación $$ z \to z + a \, \quad (a \in \Bbb C, a \ne 0) $$ o un mapa complejo-lineal (rotación/dilatación) $$ z \to \lambda z \, \quad (\lambda \in \Bbb C, \lambda \ne 0, 1) $$ dependiendo de si tiene uno o dos puntos fijos. Las traslaciones no tienen orden finito, y las rotaciones si y sólo si $\lambda$ es alguna raíz de la unidad.
Se deduce que todas las transformaciones de Möbius de orden finito son de la forma $$ T(z) = S^{-1}(\lambda S(z)) $$ con alguna transformación de Möbius $S$ y $\lambda = e^{2 \pi i k/n} \ne 1$ para algunos enteros $k, n$ .
Matt Dawdy
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Pensando en el grupo de transformaciones de Mobius como el grupo lineal proyectivo $PGL_2(\mathbb{C})$ podemos argumentar lo siguiente. Una matriz $X \in GL_2(\mathbb{C})$ tiene la propiedad de que su imagen en $PGL_2(\mathbb{C})$ tiene un orden finito si $X^n = \lambda I$ para algún escalar $\lambda$ . Porque $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado (lo menciono explícitamente para mostrar que no se generaliza a campos más generales) algunos $n^{th}$ raíz $\sqrt[n]{\lambda}$ existe y podemos reescalar $X$ por ella, por lo que podemos asumir WLOG que $X^n = I$ es decir, que $X$ tiene un orden finito. Así que basta con clasificar tales matrices.
Ejercicio: Una matriz de orden finito es diagonalizable. Más generalmente, una matriz que satisface un polinomio $f(X) = 0$ sin raíces repetidas es diagonalizable.
Ahora las cosas son muy fáciles: una matriz diagonalizable satisface $X^n = I$ si sus valores propios son $n^{th}$ raíces de la unidad, y esto se generaliza a todos los $GL_d(\mathbb{C})$ . Así que $X$ debe ser conjugada a una matriz diagonal con entradas diagonales $\zeta_n^i, \zeta_n^j$ ( $\zeta_n$ una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad), lo que significa que la correspondiente transformación de Mobius es conjugada a
$$z \mapsto \frac{\zeta_n^i z}{\zeta_n^j} = \zeta_n^{i-j} z.$$
En el caso especial de $PGL_2(\mathbb{C})$ se puede decir más: en realidad es posible clasificar completamente la subgrupos finitos de las transformaciones de Mobius (aquí clasificamos los grupos cíclicos finitos). Esta clasificación resulta ser idéntica a la clasificación de subgrupos finitos de $SO(3)$ Además de los grupos cíclicos y diédricos, existen tres grupos "excepcionales" que corresponden a las simetrías de los sólidos platónicos, a saber grupo tetraédrico $A_4$ El grupo octaédrico $S_4$ y el grupo icosaédrico $A_5$ .
