Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{R}$ . Sea $B\colon V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ sea una forma bilineal.
Supongamos que $B$ es degenerado .
Q.1 En $V$ tiene una base ortogonal / ortonormal?
Q.2 Si $U$ es un subespacio de $V$ entonces, ¿es siempre cierto que $U$ y $U^{c}$ (el complemento ortogonal de $U$ ) abarcan todo $V$ ?
Por definición de una forma degenerada, existe $x\in V$ , $x\neq0$ , de tal manera que $B(x,y)=0$ para todos $y\in V$ . En particular, si $\{v_1,\ldots,v_n\}$ es una base de $V$ entonces $B(x,v_j)=0$ para todos $j$ . Si asumimos $B(v_i,v_j)=0$ para $i\neq j$ entonces esto implicaría $B(v_j,v_j)=0$ para algunos $j$ . Supongo que en principio se podría definir una base ortogonal como aquella en la que $B(v_i,v_j)=0$ para $i\neq j$ independientemente de si se trata o no de $B(v_j,v_j)=0$ en cuyo caso el proceso Gram-Schmidt seguiría funcionando.
La segunda pregunta es cierta aunque la suma no es necesariamente directa. Tomemos una base $\{v_1,\ldots,v_k\}$ de $U$ se extienden a una base $\{v_1,\ldots,v_n\}$ de $v$ , aplicar Gram-Schmidt para obtener una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ de $V$ tal que $\{e_1,\ldots,e_k\}$ abarca $U$ y $B(e_i,e_j)=0$ para $i\neq j$ . Si $x=\sum_{j=1}^na_je_j\in V$ entonces $x=y+z$ donde $y=\sum_{j=1}^ka_je_j\in U$ y $z=\sum_{j=k+1}^na_je_j\in U^c$ Esta última afirmación es la siguiente, ya que $B(e_i,e_j)=0$ para todos $1\leq i\leq k,k+1\leq j\leq n$ . Si $x\in U$ es tal que $B(x,y)=0$ para todos $y\in V$ entonces $x\in U\cap U^c$ .
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