Pregunta sobre la prueba simple que implica el espacio dual y el aniquilador

Question

Si $\eta$ es un suspenso en un vector de dimensión finita spce $v$ entonces $\eta^{00}=\eta$

Prueba: Obsérvese que aquí utilizamos la convención, establecida al final de de 16, que identifica $v$ y $v''$ . Por definición, $\eta^{00}$ es el conjunto de todos los vectores $x$ tal que $[x,y]=0$ para todos $y$ en $\eta^{0}\dots$

16 explica que en la convención, podemos identificar $v$ con su doble espacio dual $v''$ porque son isomorfas. Pero no estoy seguro de cómo se deduce la segunda frase de la prueba anterior. A mi entender por definición, $\eta^{00}$ es el conjunto de todos los vectores $x$ en $v''$ tal que $[y, x]=0$ por cada $y\in\eta^{0}$ . No estoy seguro de cómo podemos cambiar la posición de $x$ y $y$ a partir del isomorfismo de $v$ y $v''$ .

Answer 1

Creo que probablemente sea esto. La Convención de la que habla es para identificar $x\in v$ con un funcional $\overline{x}:v'\to k$ tal que $\overline{x}(y)=y(x)$ por cada $y\in v'$ . Esto significa que

$$[y,\overline{x}]=\overline{x}(y)=y(x)=[x,y]$$

Ahora, $\eta^{00}$ es el conjunto de todos los vectores $\overline{y}\in v''$ tal que $[x,\overline{y}]=0$ para todos $x\in\eta^0$ . (Nótese que siempre podemos ver esos vectores como de la forma $\overline{y}$ para algunos $y\in v$ porque la correspondencia $v\mapsto v''$ resulta ser "sobre").

Intercambiar el papel de las letras $x$ y $y$ y se consigue que $\eta^{00}$ es el conjunto de todos los vectores $\overline{x}\in v''$ tal que $[y,\overline{x}]=0$ para todos $y\in\eta^0$ .

Ahora, identifique $\overline{x}$ con $x$ y se consigue que $\eta^{00}$ es el conjunto de todos los vectores $x\in v$ tal que $[x,y]=0$ para todos $y\in\eta^0$ .

Answer 2

La identificación de $V''$ con $V$ es confuso. Si te interesa, tengo un respuesta larga sobre esto . Con esto en mente, primero responderé sin el $[\cdot,\cdot]$ notación. Para cualquier elemento $x \in V$ Utilizaré $\alpha_x$ para denotar el elemento asociado de $V''$ . Tenga en cuenta que $\alpha_x:V' \to \Bbb F$ se define por $$ \alpha_x(f) = f(x). $$ Prueba: Por definición, $\eta^{00}$ es el conjunto de todos los elementos $\alpha \in V''$ para lo cual $\alpha(f) = 0$ es válida para todos los $f \in \eta^0$ . Tenga en cuenta que cada $\alpha \in V''$ se identifica con el único $x \in V$ para lo cual $\alpha = \alpha_x$ . Así, el conjunto $\eta^{00}$ se identifica con el conjunto de todos los $x \in V$ tal que para todo $f \in \eta^0$ , $$ \alpha_x(f) = 0 \implies f(x) = 0. $$ Ahora, según la definición de $\eta^0$ podemos ver que si $x \in \eta$ , entonces el elemento de $V''$ asociado a $x$ es un elemento de $\eta^0$ . Es decir, $\eta \subseteq \eta^{00}$ . Por otro lado, con la dimensionalidad finita tenemos $$ \dim(\eta^{00}) = \dim(V) - \dim(\eta^0) = \dim(V) - [\dim(V) - \dim(\eta)] = \dim(\eta). $$ Por lo tanto, tenemos $\eta = \eta^{00}$ .

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¿Cómo se ve esto en cuanto a los soportes? La cuestión es que $[x,y]$ es realmente $\alpha_x(y)$ y $[y,x] = y(x)$ . La identificación de $V$ con $V''$ se define de forma que $\alpha_x(y) = y(x)$ es decir, que $[x,y] = [y,x]$ .