Componentes covariantes y contravariantes de un vector en un sistema de coordenadas curvilíneas

Question

Estoy leyendo una respuesta de Quora sobre una explicación intuitiva de los componentes covariantes/contravariantes de vectores. Si tenemos un sistema de coordenadas con ejes de coordenadas rectos, la explicación geométrica dada es que los componentes covariantes de un vector en dicho sistema serán proyecciones perpendiculares en los ejes, mientras que sus componentes contravariantes serán proyecciones paralelas.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo esto se traduce a sistemas de coordenadas curvilíneas. ¿Cuál es la interpretación geométrica de los componentes covariantes y contravariantes de un vector en dicho sistema, y cómo está relacionada con la definición algebraica? (Imagina un escenario como el siguiente)

Otra cosa que no entiendo: ¿no son las covariables, y no los vectores, los objetos matemáticos que tienen componentes covariantes? ¿Por qué decimos que un vector puede tener componentes tanto covariantes como contravariantes? Según lo que he leído, los vectores son tensores de rango $(0,1)$ con solo componentes contravariantes, y las covariables son tensores de rango $(1,0)$ con solo componentes covariantes. Estoy un poco confundido.

Answer 1

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Sin embargo, no estoy seguro de cómo se traduce esto a sistemas de coordenadas curvilíneas.

En un sistema de coordenadas curvilíneas, los ejes "rectos" se definen punto por punto como las rectas tangentes a las líneas coordenadas en ese punto. En otras palabras, y quizás con mayor intuición, las curvas coordenadas son curvas en la variedad, que en cada punto $x\in M$ definen un sistema de coordenadas "lineal" del tipo algebraico lineal en el espacio tangente $T_xM$ en ese punto.

Por lo tanto, funcionan de la misma manera que lo hacen con un sistema de coordenadas lineales, pero hay que considerar cada espacio tangente por separado.

Otra cosa que no entiendo: ¿no son los covectores, y no los vectores, los objetos matemáticos que tienen componentes covariantes? ¿Por qué decimos que un vector puede tener componentes covariantes y contravariantes?

Usando la terminología estándar, los vectores tienen componentes contravariantes y los covectores tienen componentes covariantes.

Sin embargo, hay un "abuso de perspectiva" común, por así decirlo. Si tu variedad $M$ está equipada con un tensor métrico no degenerado $g:TM\times_M TM\rightarrow\mathbb R$, entonces, como OP probablemente sabe, la métrica realiza un isomorfismo estricto de haces vectoriales entre el haz tangente y el haz cotangente (o, hablando en términos algebraicos, un producto interno realiza un isomorfismo entre el espacio vectorial y su dual). Denotemos este isomorfismo como $\sharp:T^\ast M\rightarrow TM$ ("levantamiento") y su inverso como $\flat:TM\rightarrow T^\ast M$ ("descenso").

Por la propiedad usual de los espacios duales, si $e_a$, ($a=1,..,n$) es un marco local para $TM$, entonces hay un marco local único $\theta^a$ ($a=1,...,n$) para $T^\ast M$ que satisface $\theta^a(e_b)=\delta^a_b$. Este es el conocido marco dual.

Pero entonces podemos aplicar el "levantamiento" a $\theta^a$ y obtener $e^a:=\sharp\theta^a$. Estos son ahora campos vectoriales locales (en lugar de 1-formas/covectores) en $M$ que satisfacen (por la definición del isomorfismo métrico) $g(e^a,e_b)=\delta^a_b$.

Si uno así lo desea, puede llamar a $e^a$ un marco "recíproco" en lugar de un marco dual, ya que los elementos del marco recíproco son campos vectoriales locales, no campos covectores.

Luego podemos decir que si se nos da un vector o un campo vectorial local $v$, podemos expresarlo como $v=v^a e_a=v_a e^a$ en cualquiera de los marcos. Como se puede ver fácilmente, las "componentes covariantes" $v_a$ tienen las mismas propiedades y forma que las componentes de $\flat v$ (el "descenso" de $v$) en el marco dual.

Entonces se puede prescindir por completo de los covectores y tensores bigraduados, y considerar que todos los tensores están graduados por grado/rango/orden (número de índices) solo con la comprensión de que todos los índices se pueden tomar con respecto a un marco o su marco recíproco, y luego todo funcionará exactamente de la misma manera que si se hubiera considerado tensores bigraduados desde el principio, pero sin tener que aprender también sobre espacios duales y demás.

Sin embargo, esta forma de ver las cosas es "poco natural" y requiere un tensor métrico fijo.

Otra cosa que no entiendo: ¿no son los covectores, y no los vectores, los objetos matemáticos que tienen componentes covariantes?

OP no quiso decir esto, pero siento la necesidad de decir también aquí que la terminología "tradicional" de contravariante y covariante está completamente al revés con respecto al punto de vista moderno de teoría de categorías. Si $M,N$ son variedades diferenciables y $\phi:M\rightarrow N$ es una aplicación suave, entonces los vectores tangentes (que son los que tienen componentes contravariantes, tradicionalmente) se transportan a lo largo de la aplicación $\phi$ a través del funtor tangente $T:\mathsf{Diff}\rightarrow\mathsf{VecBun}$, que es un functor covariante, y los covectores (que son los que tienen componentes covariantes, tradicionalmente) se transportan hacia atrás a lo largo de la aplicación $\phi$ a través del funtor cotangente $T^\ast:\mathsf{Diff}\rightarrow\mathsf{VecBun}$, que es un funtor contravariante.

Dado que cuando $\phi$ es un difeomorfismo, esto es esencialmente la versión libre de coordenadas de la fórmula de cambio de coordenadas, los vectores tangentes deberían llamarse covariantes y las 1-formas contravariantes.

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Answer 2

Creo que necesitamos definir una base recíproca, además de la base normal de vectores.

El caso más simple de curvilíneo son las coordenadas polares en el plano. Un punto $P = [X,Y]$ en coordenadas cartesianas, será $P(r,θ) = [r cos(θ) , r sin(θ)]$.

El vector base es ahora una función de $P$. Para la base normal tomamos el gradiente:

$$\mathbf e_r = ∂P/∂r = [cos(θ), sin(θ)]$$ $$\mathbf e_θ = ∂P/∂θ = [-r sin(θ), r cos(θ)]$$

Aunque es ortogonal, no es ortonormal. Definimos vectores recíprocos: $\mathbf e^r$ y $\mathbf e^θ$ de modo que: $$\mathbf e^r. \mathbf e_r = \mathbf e^θ. \mathbf e_θ = 1$$ $$\mathbf e^r. \mathbf e_θ = \mathbf e^θ. \mathbf e_r = 0$$

De acuerdo a esos requisitos:

$$\mathbf e^r = [cos(θ), sin(θ)] = \mathbf e_r$$ $$\mathbf e^θ = (1/r)[-sin(θ), cos(θ)] = \mathbf e_θ / r^2$$

Ahora podemos encontrar los componentes de un pequeño vector en las cercanías de $P$. Primero los contravariantes, que son el producto punto con la base recíproca (es fácil de demostrar que para coordenadas rectas es equivalente a dibujar líneas paralelas a los ejes):

$$\mathbf dV^i = (\mathbf dV.\mathbf e^r)\mathbf e_r + (\mathbf dV.\mathbf e^θ ) \mathbf e_θ$$

Si llamamos: $\mathbf dV.\mathbf e^r = dr\;$ y $\;\mathbf dV.\mathbf e^θ = dθ$ $$\mathbf dV^i = dr\mathbf e_r + dθ\mathbf e_θ$$

Los componentes covariantes son el producto punto del vector con la base normal. Pero tiene que ser expresado como una combinación lineal de su base recíproca:
$$\mathbf dV_i = (\mathbf dV^i.\mathbf e_r )\mathbf e^r + (\mathbf dV^i.\mathbf e_θ ) \mathbf e^θ$$ $$\mathbf dV_i = ((\mathbf dre_r + \mathbf dθe_θ ).\mathbf e_r )e^r + ((\mathbf dre_r + \mathbf dθe_θ ).\mathbf e_θ ) e^θ = dr\mathbf e^r + r^2 dθ\mathbf e^θ$$

La longitud del vector es: $dV^2 = \mathbf dV^i\mathbf dV_i = [dr\mathbf e_r + dθ\mathbf e_θ][dr\mathbf e^r + r^2 dθ\mathbf e^θ] = dr^2 + r^2dθ^2$

Los componentes del tensor métrico son: $g_{rr} = \mathbf e_r.\mathbf e_r = 1; g_{rθ} = \mathbf e_r.\mathbf e_θ = 0; g_{θr} = \mathbf e_θ.\mathbf e_r = 0; g_{θθ} = \mathbf e_θ.\mathbf e_θ = r^2$