¿Generalizar los límites de sumas, productos y cocientes de secuencias a espacios topológicos abstractos?

Question

Los libros de introducción al análisis real suelen demostrar una lista de propiedades sobre límites de secuencias de números reales y complejos. Supongamos que $\lim x_n=x$ y $\lim y_n=y$ . Entonces:

1. $\lim (x_n+y_n) = x+y$
2. $\lim c x_n = cx$ (donde $c \in F$ para algún campo $F$ )
3. $\lim x_n y_n = xy$
4. $\lim x_n^p=x^p$
5. $\lim \frac{1}{x_n} = \frac{1}{x}$ (proporcionado para todos los $n$ , $x_n \ne 0$ y $x \ne 0$ )
6. $\lim \frac{x_n}{y_n}=\frac{x}{y}$ (proporcionado para todos los $n$ , $x_n \ne 0$ , $y_n \ne 0$ , $x \ne 0$ y $y \ne 0$ )

Sin embargo, estos resultados pueden generalizarse más allá de secuencias de números reales y complejos a secuencias más abstractas en espacios métricos y topológicos más generales. Me gustaría demostrar estos resultados para un arbitrario espacio métrico. Sin embargo, el problema es que, hasta donde yo sé, estas operaciones (suma, multiplicación y división) sólo están definidas para números . Así que en un abstracto espacio métrico o topológico, hace $x_n+y_n$ ¿tiene sentido?

¿Cómo se pueden generalizar estas propiedades a los espacios métricos y topológicos abstractos? ¿Hay que empezar con extensiones de campos topológicos, álgebras topológicas sobre un campo topológico, álgebras normadas o algo más? ¿Y hasta qué punto se pueden generalizar estos resultados? ¿Cuál es la más espacio topológico general en el que las operaciones $x_n+y_n$ , $x_n \times y_n$ , $\frac{x_n}{y_n}$ ¿tiene sentido y se mantienen las 6 propiedades de los límites? Gracias por tus ideas.

Answer 1

El grupo de los números reales $(\Bbb R,+,0,-)$ con su topología habitual es un grupo topológico : La adición $+:\Bbb R\times\Bbb R \to \Bbb R$ (donde $\Bbb R\times \Bbb R$ tiene la topología del producto) y la negación $-:\Bbb R \to \Bbb R$ son mapas continuos. Estas propiedades de $\Bbb R$ son exactamente lo que lleva a fórmulas como $$\lim(x_n+y_n) = x+y\quad \text{ and } \quad \lim(-x_n)=-x$$ la razón es que la secuencia $(x_n,y_n)_n\subseteq\Bbb R\times\Bbb R$ converge a $(x,y)$ Por lo tanto, como un mapa continuo preserva los límites, la secuencia de imágenes $(+(x_n,y_n))_n = (x_n+y_n)_n$ converge a la suma $+(x,y) = x+y$ . Por el mismo razonamiento, tenemos $(-(x_n))_n\to -x$ .

Sustitución de la adición $+$ con la multiplicación $\cdot:\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ sin embargo, no obtenemos un grupo sino un monoide $(\Bbb R,\cdot,1)$ y es topológico en el sentido de que $\cdot$ es continua. Por el mismo razonamiento anterior, tenemos $\lim(x_ny_n)=xy$ .
Sin embargo, recuperamos un grupo topológico si restringimos a los números reales no nulos $\Bbb R_\times$ ya que el mapa $x\mapsto 1/x$ es continua. Por lo que se deduce que $\lim(1/x_n)=1/x$ .

Ejemplos de grupos topológicos son

• El círculo $S^1$ con la multiplicación y topología heredada de los números complejos.
• El grupo $\text{Aut}(X)$ de homeomorfismos en un espacio compacto de Hausdorff $X$ . La multiplicación es la composición de dos mapas, y la topología es la topología compacta-abierta
• Cualquier espacio vectorial normado $(V,||-||)$ tiene una topología inducida por la norma, y esta topología hace que la adición $+$ y la negación $-$ así como la multiplicación escalar $\Bbb R\times V\to V$ continua. Por eso hablamos de espacio vectorial topológico .

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Voy a abordar su deseo de una estructura donde todas estas propiedades se mantienen: Asumimos que nuestra estructura $X$ tiene una suma, una multiplicación interna y una multiplicación escalar externa con un campo $F$ con sujeción a las siguientes normas

1. $(x+y)+z = x+(y+z)$
2. $x+y = y+x$
3. Hay un elemento $0$ tal que $0+x = x+0 = x$
4. Para cada $x\in X$ Hay un $-x\in X$ tal que $x+(-x) = 0$ .
5. $(\mu)x = (\mu x)$
6. $\lambda(x+y) = x + y$
7. $(+\mu)x = x + \mu x$
8. $(xy)z = x(yz)$
9. $xy = yx$
10. Hay un elemento $1_X\in X$ tal que $1_X x = x1_X = x$
11. Para cada $x\in X\setminus\{0\}$ Hay un $x^{-1}=\frac1x$ tal que $x/x=1_X$
12. $(x+y)z = xz+yz$
13. $(x)y = (xy)$

donde $x,y,z\in X$ y $,\mu\in F$ y $x/y$ es otra notación para $xy^{-1}=y^{-1}x$

Se podrían subsumir estas normas diciendo que $(X,+,0,-,\cdot,1_X,^{-1})$ es un campo que satisface las reglas 5, 6, 7 y 13. Obsérvese que podemos deducir algunas propiedades más a partir de estas

• $0_F x = 0_X = 0_X$
• $-(x) = (-)x = (-x)$
• $1_F x = x$ . Porque si $1_Fx=y$ entonces $$ 1_F x = (1_F1_F)x = 1_F(1_F x) = 1_F y $$ así $1_F(x-y) = 0$ . Ahora bien, si $x\ne y$ entonces $z=(x-y)$ tiene un inverso, por lo tanto $$1_F1_X = 1_F(zz^{-1}) = (1_Fz)z^{-1} = 0_Xz^{-1} = 0_X$$ lo que implica de nuevo que $$w = (1_F)(1_Xw) = ((1_F1_X))w = 0_Xw = 0_Xw = 0$$ para cualquier $\in F$ y $w\in X$ que probablemente no es lo que quieres.
• El mapa $i:\mapsto 1_X$ es un homomorfismo de campo. Pues si $,\mu\in F$ , entonces $(+\mu)1_X = 1_X + \mu1_X$ et $(\mu)1_X = (1_X(\mu1_X)) = (1_X)(\mu1_X)$ . Así que, o bien $i\equiv0$ , o $i$ es una incrustación de $F$ en $X$ . Pero si $i\equiv0$ entonces $x=(1_Xx)=(1_X)x=0_Fx = 0$ para cualquier $\in F$ y $x\in X$ .

El último punto es la razón por la que podemos considerar $F$ como un subcampo de $X$ Así que el comentario de Whacka sobre $X/F$ que es una extensión de campo está justificada.

Ahora $X$ está dotado de una topología, de lo contrario no podríamos hablar de límites de secuencias. Obsérvese que si equipamos $X\times X$ con la topología del producto, entonces las secuencias $(x_n)_n$ y $(y_n)_n$ convergen a $x$ y $y$ respectivamente, si y sólo si $(x_n,y_n)_n$ converge a $(x,y)$ en $X\times X$ . Así que la propiedad $\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)_n = x+y$ significa simplemente que la adición $+:X\times X\to X$ preserva los límites de las secuencias convergentes, por lo que es secuencialmente continua (a diferencia de ser continua, que es un poco más fuerte). Por lo tanto, las propiedades de los límites que has declarado se mantienen si y sólo si la suma, la multiplicación y la inversión son secuencialmente continuas. Se podría llamar a esta estructura una campo topológico secuencial o algo así.

Answer 2

En efecto, el álgebra de límites es válida (para sumas y múltiplos escalares) en cualquier espacio normado. La prueba es idéntica. El resto de las álgebras de límites se mantienen en cualquier álgebra normada. Nótese aquí que la norma de un álgebra debe satisfacer $\lVert xy\rVert\leq\lVert x\rVert\lVert y\rVert$ para todos $x,y$ en el álgebra. También hay que tener en cuenta que distinto de cero debe ser sustituido por invertible en la multiplicación del álgebra.

Un ejemplo particular de este tipo de álgebra es el espacio de todas las funciones continuas de valor complejo sobre un espacio compacto de Hausdorff, dotado de la norma del sumo y de operaciones puntuales.

(n.b. He escrito esto en mi teléfono, así que sin duda está lleno de palabras incorrectas y errores tipográficos)

Answer 3

Para hablar de cosas como la suma, la multiplicación, la identidad multiplicativa, la división ilimitada, los escalares de $F$ y para la notación $\frac{a}{b}$ para que tenga sentido, ya estás hablando de una extensión de campo de $F$ .

Entonces (casi por definición) una estructura satisface su lista de propiedades $\iff$ es un campo topológico que también es una extensión de campo de $F$ . Hay cierta redundancia en la lista:

• $(3)\implies(2)$
• $(3)\implies (4)_{p\ge0}$
• $(3)\land(5)\implies(4)_{p\in\Bbb Z}$
• $(4)_{p\in\Bbb Z}\implies(5)$
• $(3)\land(5)\implies(6)$

Sólo hay que tirar $(4)$ desde el principio. Podemos obtener otras estructuras descartando otras condiciones:

• Si uno tira $(2)$ entonces tenemos un campo topológico sin relación con $F$ . Si es localmente compacto y no discreto, se llama campo local, y la topología se induce a partir de una métrica que a su vez se induce a partir de una función de valor absoluto.

• Si uno tira $(6)$ entonces la multiplicación no es necesariamente conmutativa por lo que se trata de un álgebra de división topológica, también conocida como campo sesgado, que contiene el campo $F$ .

• Si uno tira $(2)\land(6)$ es un campo topológico sesgado sin relación con $F$ .

• Si uno tira $(5)\land(6)$ entonces es un anillo topológico que contiene $F$ .

• Si uno tira $(2)\land(5)\land(6)$ entonces es un anillo topológico.

• Si uno tira $(2)\land(3)\land(5)\land(6)$ entonces es un grupo abeliano topológico (aditivo).

• Si uno tira $(1)\land(2)\land(5)\land(6)$ entonces es un grupo topológico (multiplicativo).

• Si uno tira $(3)\land(5)\land(6)$ entonces es un espacio vectorial topológico sobre $F$ .

Esencialmente, primero averiguar la estructura algebraica que quieres, entonces añadir la palabra topológica delante de ella. Supongo que aún se pueden obtener cosas que no tienen nombre. (Por ejemplo, considere un anillo topológico en el que la inversión es continua en el subespacio de dos caras unidades o tomar uno de los objetos de la lista anterior y añadirle condiciones topológicas).