Una pregunta sobre las funciones características

Question

Estoy tratando de entender una prueba de lo siguiente:

Dejemos que $X_1,...,X_n$ sean variables estocásticas en $\mathbb{R}^n$ . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) $X_1,...,X_n$ son independientes.

ii) $\mu_X=\mu_{X_1}\otimes ...\otimes \mu_{X_n}$ .

iii) $E(\prod_{k}f_k(X_k))=\prod_kE(f_k(X_k))$ para todas las funciones acotadas de Borel $f_1,...,f_n$

iv) $\phi_X(u)=\prod_k\phi_{X_k}(u_k)$ para todos $u=(u_1,...,u_n)$ .

Ahora, lo único de la prueba que no puedo entender, es el paso (iv) $\Rightarrow$ (i). Ahora, el profesor dijo que asumimos (iv) y elegimos variables estocásticas independientes $\bar{X}_1,..., \bar{X}_n$ con $\mu_{\bar{X}_k}=\mu_{X_k}$ para todos $k$ . Entonces sabemos que (i) $\Rightarrow$ (iv), por lo que

$\phi_{\bar{X}}(u)=\prod_k\phi_{\bar{X}_k}(u_k)\stackrel{?}{=}\prod_k\phi_{X_k}(u_k)=\phi_X(u)$ ,

así que $\mu_{\bar{X}}=\mu_X$ por la unicidad de las funciones características. Entonces obtenemos (i).

He marcado el paso que no entiendo. ¿Por qué se mantiene esto? ¿Es por la singularidad también?

Answer 1

Sí, porque la función característica está completamente determinada por la distribución. En otras palabras, si dos variables aleatorias $X$ y $Y$ tienen la misma distribución ( $\mu_X=\mu_Y$ en su notación), entonces obviamente $$ \varphi_X(u)={\rm E}[e^{iuX}]={\rm E}[e^{iuY}]=\varphi_Y(u),\quad u\in\mathbb{R}. $$

Answer 2

Incluso si $\bar{X}_k$ y $X_k$ se definen en espacios de probabilidad diferentes, tienen la misma ley, es decir $\mu_{\bar{X}_k}(B) = \mu_{X_k}(B)$ para todos $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ (asumiendo que las variables aleatorias son de valor real) y por tanto \begin {Ecuación} \int e^{i u_k x}\, \mu_ { \bar {X}_k}(dx) = \int e^{i u_k x}\, \mu_ {X_k}(dx). \end {Ecuación}