Demostrar que la enésima derivada de $x e^{-x}$ es $(-1)^n (e^{-x})(x-n)$ por inducción.

Question

Estoy bastante atascado en esto. ¿Cómo se puede demostrar que el $n^{th}$ derivado de $x e^{-x}$ si el $(-1)^n (e^{-x})(x-n)$ ¿por inducción?

Lo hice:

$\frac{d}{dx}(x e^{-x})=(e^{-x}) - x(e^{-x})$

Ahora no tengo ni idea de cómo proceder y demostrar esto por inducción. Agradecería mucho si alguien pudiera guiarme. Una respuesta clara sería muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Llevar a cabo una prueba por inducción suele implicar (¿probablemente siempre?) tres pasos:

1. El paso base: Probar el supuesto para una $n$ . Eso es lo que ya has hecho, has demostrado que la suposición se mantiene para $n=1$ . No tienes más remedio que probarlo.

2. Paso de inducción: ahora se trata de demostrar que, si la suposición se cumple para una $n$ también es válido para el sucesor de $n$ , a saber $n+1$ . Permíteme una demostración: Usted supone (y anota en su hoja de recortes), que la relación \begin {eqnarray} \frac {d^{n}}{dx^{n}}(xe^{-x})&=&(-1)^{n}(e^{-x})(x-n) \end {eqnarray} es válida para un determinado, pero aún desconocido $n$ . "Supones" significa, que por el momento no lo pruebas, sino que aceptas la idea de que puede haber tal $n$ . La pregunta es: ¿Funciona también para $n+1$ ? De nuevo, esto se descubre probando. Quieres saber lo que el $(n+1)$ El derivado lo es, así que pruébalo: \begin {eqnarray} \frac {d^{n+1}}{dx^{n+1}}(xe^{-x})&=& \frac {d}{dx} \left ( \frac {d^{n}}{dx^{n}}(xe^{-x}) \right ) \\ &=& \frac {d}{dx} \left ((-1)^{n}(e^{-x})(x-n) \right ) \\ &=& (-1)^n(-1)(e^{-x})(x-n)+(-1)^n(e^{-x}), \end {eqnarray} por aplicación de la regla de la cadena. Ahora, lo que obviamente necesitas es el resultado: \begin {eqnarray} \frac {d^{n+1}}{dx^{n+1}}(xe^{-x})=(-1)^{n+1}(e^{-x})(x-(n+1)). \end {eqnarray} Significa que tienes que manipular el resultado de tu diferenciación de forma que se parezca a éste: \begin {eqnarray} \frac {d^{n+1}}{dx^{n+1}}(xe^{-x})&=& (-1)^n(-1)(e^{-x})(x-n)+(-1)^n(e^{-x}) \\ &=& (-1)^{n+1}(e^{-x})(x-n)+(-1)^{n+1}(-1)(e^{-x}) \quad\text {porque $(-1)(-1)=1$ } \\ &=& (-1)^{n+1}(e^{-x}) \left (x-n-1 \right ) \quad\text {mediante el factoring $(-1)^{n+1}(e^{-x})$ } \\ &=& (-1)^{n+1}(e^{-x})(x-(n+1)). \end {eqnarray}

3. El último paso es bastante formal, pero quizá el más exigente desde el punto de vista intelectual. Tienes que unir tus dos resultados. En el paso de inducción has demostrado que, si hay algún $n$ para el que se cumple la hipótesis, entonces también se cumple para $n+1$ . En su paso de base demostró de hecho, que se mantiene para $n=1$ . Con el paso de inducción se deduce que también es válido para $n+1=2$ . Si se establece $k=n+1$ se ve que también es válido para $k+1=n+2=3$ y así sucesivamente. Por lo tanto, la suposición es válida para cualquier $n$ porque puedes llegar a cualquier ser añadiendo $1$ a menudo.

De acuerdo con su tarea, puede ser necesario demostrar que también es válido para $n=0$ . Este es el esquema general para resolver estos problemas. El segundo paso es el más difícil. Deberías escribir lo que esperas al final (como hice yo) y luego simplemente intentar diferentes manipulaciones algebraicas hasta llegar a la meta. Con algo de práctica te vuelves más hábil en eso.

Espero que te haya servido de ayuda. Saludos cordiales,

Christoph