Número de términos en la expansión de $(1+x^3+x^5) ^n$ ?

Question

¿Cómo podemos encontrar el número de términos en la expansión de $(1+x^3+x^5)^n$ ?

Answer 1

Como todos los coeficientes son positivos, no hay que preocuparse por la posibilidad de que los términos se anulen.

Es fácil demostrar que $(1+x^3+x^5)^3$ tiene 10 términos. Puede enumerarlos o utilizar ${5 \choose 2} = 10$ .

Proceder por inducción, para demostrar que si $n\geq 3$ entonces $f_n(x) = (1+x^3 + x^5)^n$ tiene $5n-5$ términos.

Una pista: Pasar de $k$ a $k+1$ todos los coeficientes que existían en $f_k$ también existirá en $f_{k+1}$ .

Una pista: Demostrar que $f_{k+1}$ tiene 5 términos adicionales. ¿Cuáles son estos 5?

Una pista: $5(k+1)$ es uno de los términos adicionales. ¿Ves por qué? ¿Qué otros términos adicionales hay?

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$(1+x^3+x^5)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{3 k} (1+ x^2)^k$$

Hay $n+1$ términos. Para el $k$ de la semana, hay $k+1$ términos. Por lo tanto, hay

$$\sum_{k=0}^n (k+1) = \frac12 (n+1)(n+2)$$

términos antes de combinarlos. Sin embargo, hay muchos términos que se combinan (es decir, potencias similares). Para obtener un recuento exacto, entonces, debemos averiguar cuáles son esas potencias.

Escribamos, ignorando los coeficientes, las potencias por valor de $k$ :

$$(1+x^3+x^5)^n = \begin{array}\\ 1 \\ x^3 & x^5\\x^6 & x^8 & x^{10}\\ x^9 & x^{11} & x^{13} & x^{15}\\ x^{12} & x^{14} & x^{16} & x^{18} & x^{20}\\ x^{15} & x^{17} & x^{19} & x^{21} & x^{23} & x^{25} \end{array}$$

y así sucesivamente. En general, queremos encontrar todos los valores de $3 k+2 \ell$ que se superponen para diferentes puntos de la red $(k,\ell)$ . Obsérvese que tenemos una primera combinación cuando $k=5$ (lo que explica por qué mi prueba para los pequeños $n$ trabajado); $(5,0)$ y $(3,3)$ .

Por desgracia, no conozco ninguna expresión cerrada para el número, $h(m)$ de pares de puntos de la red $(k,\ell)$ que tienen $3 k+2 \ell$ que es igual a un número entero dado $m$ . Lo mejor que puedo ver escrito es

$$\frac12 (n+1)(n+2) - \sum_{m=0, m=3 k+2 \ell}^{5 n} [h(m)-1]$$