Significado físico de PDE

Question

Al estudiar la EDP, quiero preguntar si hay algún significado físico para la siguiente EDP: $$\frac{\partial W}{\partial u}=\frac{\partial^{2} W}{\partial x^{2}}$$ tal que $t>0, 0<x<\infty$ y $W(0,x)=\delta_{0}(x)$ . El libro estándar tiene significado físico si $-\infty<x<\infty$ (Colocando un impulso unitario en $x=0$ y dejar que se difunda y registrar la temperatura). En el ejemplo dado, ¿podemos utilizar la misma interpretación? Lo que me confunde es que el dominio definido. Normalmente, no definimos en $x=0$ y $t=0$ cuando leí los libros. Así que supongo $W(u,x)=0$ desde $\delta_{0}(x)=0$ si $x\neq 0$ . Pero puedo pensar en $W(u,x)\neq 0$ . $\frac{1}{\sqrt{4\pi u}}e^{-\frac{x^{2}}{4u}}$ es una solución

Answer 1

La ecuación de tipo térmico que estás estudiando es la formulación diferencial (es decir, una formulación que implica valores puntuales de las cantidades implicadas, como las derivadas espaciales) de la ecuación de equilibrio general, y la $\delta(x)$ representa un término de origen situado en $x=0$ e independiente de $t$ . Para ver esto, analicemos el $n$ -y luego particularizar los resultados para $n=1$ .

Dejemos que $G\subset\mathbb{R}^n$ un dominio para el que se cumple alguna forma del teorema de la divergencia, por ejemplo un conjunto de Caccioppoli, y supongamos que este conjunto se caracteriza por una cantidad dependiente del tiempo $Q(t)$ .

La cantidad $Q$ puede variar respecto al tiempo sólo bajo la acción de las fuentes que se encuentran en el interior de $G$ o al fluir a través de la frontera $\partial G$ de $G$ : este es el contenido heurístico de la ecuación de equilibrio $$ \frac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}=\int_{\partial G}\boldsymbol{q}(x,t)\cdot\boldsymbol{n}_x\mathrm{d}x+\int_G s(x,t)\,\mathrm{d}x\tag{1}\label{1} $$ donde

• $\boldsymbol{q}(x,t)$ es el vector de densidad de flujo de la cantidad $Q(t)$ a través de $\partial G$ en el punto $x$
• $\boldsymbol{n}_x$ es el normal interna (teórica de la medida, para un conjunto de Caccioppoli) en el punto $x$ .
• $s(x,t)$ es un término interno general (que representa, por ejemplo, procesos de absorción/generación de la cantidad dada que tienen lugar dentro de $G$ ).

El siguiente paso en la deducción es asumen una forma particular para $Q(t)$ y para el flujo $\boldsymbol{q}(x,t)$ . Este es precisamente el significado de las siguientes ecuaciones: $$ Q(t)=\int_G c(x)\rho(x) w(x,t)\,\mathrm{d}x,\tag{2}\label{2} $$ donde

• $c(x)$ es una función que depende únicamente de las propiedades del medio que llena $G$ (si se trata de calor, se llama capacidad calorífica ),
• $\rho(x)$ es una función que depende únicamente del densidad del medio (se llama comúnmente densidad de masa ),

y $$ \boldsymbol{q}(x,t)=\boldsymbol{\hat{K}}(x)\nabla w(x,t),\tag{3}\label{3} $$ donde $\boldsymbol{\hat{K}}(x)$ es tensor que de nuevo se encarga del posible comportamiento anisotrópico del flujo.

Ahora, utilizando las ecuaciones \eqref {1}, \eqref {2}, \eqref {3} y el teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky (divergencia) obtenemos $$ \begin{split} \frac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t} &=\int_G c(x)\rho(x)\frac{\partial w(x,t)}{\partial t}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{\partial G}\boldsymbol{q}(x,t)\cdot\boldsymbol{n}_x\mathrm{d}x+\int_G s(x,t)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{\partial G}\boldsymbol{\hat{K}}(x)\nabla w(x,t)\cdot\boldsymbol{n}_x\mathrm{d}x+\int_G s(x,t)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{G}\big[\nabla\cdot\big(\boldsymbol{\hat{K}}(x)\nabla w(x,t)\big)+ s(x,t)\big]\mathrm{d}x \end{split} $$ y luego $$ \int_G\left[ c(x)\rho(x)\frac{\partial w(x,t)}{\partial t}-\nabla\cdot\big(\boldsymbol{\hat{K}}(x)\nabla w(x,t)\big)-s(x,t)\right]\mathrm{d}x=0 $$ La ecuación integral anterior se satisface si y sólo si $$ c(x)\rho(x)\frac{\partial w(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot\big(\boldsymbol{\hat{K}}(x)\nabla w(x,t)\big) + s(x,t)\tag{4}\label{4} $$ Ecuación \eqref {4} es la ecuación parabólica lineal general (forma de divergencia): si suponemos $c(x)\equiv\rho(x)\equiv1$ , $\boldsymbol{\hat{K}}(x)\equiv\boldsymbol{1}$ y $s(x,t)=\delta(x)\times\delta(t)=\delta(x)\delta(t)$ (los productos tensoriales de los deltas de Dirac respecto a las variables $x\in\mathbb{R}^n$ y $t\in\mathbb{R}$ ) obtenemos la norma ecuación del calor : $$ \begin{split} \frac{\partial w(x,t)}{\partial t}&=\Delta w(x,t)+\delta(x)\delta(t)\quad n>1\\ \frac{\partial w(x,t)}{\partial t}&=\frac{\partial^2w(x,t)}{\partial x^2}+\delta(x)\delta(t)\quad n=1 \end{split} $$ Si necesita especificar sólo la presencia de un término independiente del tiempo, básicamente considerando sólo $\delta(x)$ o, al revés, sólo un término dependiente del tiempo, se puede poner $$ s(x,t)= \begin{cases} \delta(x) & x\in\mathbb{R}^n\\ \delta(t) & t\in\mathbb{R} \end{cases} $$ por lo tanto Los deltas respecto a las variables individuales o sus productos tensoriales pueden interpretarse como términos fuente en la ecuación de equilibrio \eqref {1} .

Notas

• Muchas (si no todas) las ecuaciones de evolución de la física matemática pueden deducirse de la ecuación de equilibrio \eqref {1} (por ejemplo, la ecuación de onda), simplemente eligiendo adecuadamente las ecuaciones de definición \eqref {2} y \eqref {3}, que por lo tanto juegan el papel de axiomas constitutivos de una teoría. En particular \eqref {3} es el Ley de Fourier-Duhamel de la conducción del calor .

• Una deducción de la ecuación del calor unidimensional (sin considerar el término fuente), sin embargo conceptualmente idéntica a la deducción mostrada arriba, es ofrecida por Cannon (1984) (§1.1, pp. 13-15) y por Widder (1978) (§2 y §3, pp. 1-5). Prefiero la anterior ya que no requiere el conocimiento de ningún concepto físico especial (aunque sea elemental), siendo válida también para las ecuaciones de difusión lineales generales y otras EDP parabólicas.

1] Cannon, J. R. (1984), La ecuación del calor unidimensional Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 23 (1ª ed.), Reading etc.: Addison-Wesley Publishing Company, pp. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2, MR 0747979, Zbl 0567.35001

2] Widder, D. V. (1978), La ecuación del calor , Pure and Applied Mathematics 67, Academic Press, pp. xiv+267, ISBN 0-12-748540-6, MR0466967, Zbl 0322.35041.

Answer 2

Esta ecuación describe, por ejemplo difusión de calor .

Su condición inicial describe una fuente unitaria en $(0, 0)$ .

La versión compleja es, por ejemplo, la Ecuación de Schrödinger .