Construir dos soluciones de series de potencia linealmente independientes para $(1+z^2)u''+3zu'+u=0$

Question

Intento construir dos soluciones en serie de potencias linealmente independientes para la EDO $$(1+z^2)u''+3zu'+u=0$$

Mi intento:

Dejemos que $$u=\sum_{k=0}^{\infty}A_kz^k\implies u'=\sum_{k=1}^{\infty}kA_kz^{k-1}\implies u''=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)A_kz^{k-2}$$

Sustituyendo esto en la EDO, encuentro que $$\sum_{k=0}^{\infty}\left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(k+1)^2A_k\right)z^k=0$$ Por lo tanto, $u$ es una solución si $$A_{k+2}=-\frac{k+1}{k+2}A_k \ \ \ k\geq 0$$ No veo cómo proceder, sobre todo teniendo en cuenta que no hay condiciones iniciales para encontrar $A_0$ y $A_1$ . Cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

Toma $A_0=0$ y $A_1=1$ y calcular una solución. A continuación, tome $A_0=1$ y $A_1=0$ y calcular otra. Obtendrás dos soluciones linealmente independientes.

Answer 2

Parece que hay un error en su relación recurrente $$A_{k+2}=-\frac{1}{k+2}A_k \ \ \ k\geq 0$$ De su última igualdad obtengo

$$A_{2n}=(\frac {-1}2)^n\frac {A_0}{n!}$$ $$\implies u_1(z)=\sum_{n=0}^\infty (\frac {-z^2}2)^n\frac {A_0}{n!}$$ Lo cual no es exacto... Revisa de nuevo tu última igualdad

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Editar de este $$A_{k+2}=-\frac{k+1}{k+2}A_k \ \ \ k\geq 0$$ usted evalúa $A_2,A_4,A_6$ $$A_2=-\frac 12A_0$$ $$A_4=-\frac 34A_1=\frac {1\times 3}{2 \times 4}A_0$$ $$A_6=-\frac {1\times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 6}A_0$$ ¿Puedes deducir el patrón?

En el denominador tienes que $$2\times 4 \times 6.... =2 \times 2 \times 2 \times ...... \times 1 \times 2  \times 3..=2^nn!$$

Así que $$A_{2n}=(-1)^n \frac {1 \times 3 \times 5 ...}{2^n(n!)}A_0$$ Haz lo mismo para el numerador que tienes $$1\times 3 \times 5 \times ...$$ Tenemos que $$1\times 3 \times 5 \times ..= \frac {1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6} {2\times 4 \times 6}=\frac {(2n)!}{2^n (n!)}$$ Finalmente $$\boxed {A_{2n}=(-1)^n \frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}A_0}$$ $$u_1=\sum_ {n=0}^\infty(-1)^n \frac {(2n)!}{(n!)^2}(\frac {z}{2})^{2n}$$

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Tenga en cuenta que puede comprobar la solución por integración directa

$$(1+z^2)u''+3zu'+u=0$$ $$(1+z^2)u''+2zu'+zu'+u=0$$ $$((1+z^2)u')'+(zu)'=0$$ integrar $$(1+z^2)u'+zu=K_1$$